Kopplung von Schwingungen

Mechanik

Kopplung von Schwingungen

  • Was versteht man unter energiehungrigen Schwingern?
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Aufbau

Der Winkelaufnehmer wird mit einer Muffe befestigt. Das Stangenpendel mit den beiden Permanentmagneten wird in der V-förmigen Nut der vom Winkelaufnehmer herausragenden Stange gelagert. In der Stange des Winkelaufnehmers befindet sich eine magnetfeldempfindliche Sonde.
Versorgt man den Winkelaufnehmer mit der nötigen Versorgungsspannung von 12 - 16 V~. Das zweite Kabel des Winkelaufnehmers führt man zu einem Messgerät beziehungsweise t-y-Schreiber. In ca. 30 - 40 cm Entfernung wird analog ein zweites gleichartiges Pendel gelagert.

Durchführung
Man koppelt zunächst die Pendel nicht und zeigt, dass das Messgerät eine Spannung anzeigt, die proportional zur Auslenkung des Pendels ist (die Nullpunkteinstellung der Spannung erfolgt durch leichtes Drehen des Winkelaufnehmers). Schließlich koppelt man beide Pendel durch die Schraubenfeder. Hält man zunächst das linke Pendel fest und lenkt das rechte Pendel aus und lässt dann beide Pendel los.

 

 

Beobachtung

  • Es tritt eine stark ausgeprägte Schwebung auf, die als Überlagerung der beiden Eigenschwingungen des gekoppelten Systems verständlich ist.
  • Die Energie pendelt periodisch zwischen dem linken und dem rechten Pendel hin und her.
  • Beim Nulldurchgang der Schwebungsamplitude erfolgt ein Phasensprung von π (t-y-Diagramm siehe unten).

 

 


 

Weitere Versuchanordnungen zu gekoppelten Pendeln

 

 

Hinweise: Versuchsaufbau und Bilder von H.Chmela und R.Smetana

Werden zwei unterschiedlich schwere Pendel verwendetso kann das schwere viel Energie aufnehmen und muss diese vollständig an ein kleines, leichtes Pendel abgeben. Dieses kann die großen Energiemengen nur aufnehmen, indem es seine Amplitude vergrößert.
Es erfolgt also eine Transformation der Amplitude.

Wie dies geschieht kann man auf dem Video von H.Chmela und R.Smetana sehen.
klicke hier 
In diesem Video ist im Zeitraffer (5-fache Geschwindigkeit) der Ausgleichsvorgang mit zwei unterschiedlich schweren Pendel zu sehen. Zu Beginn ist alle Energie auf dem großen Pendel. Es schwingt mit relativ kleiner Amplitude. Am Ende ist das große zur Ruhe gekommen, alle Energie ist auf das kleine Pendel übertragen, so dass es jetzt mit viel größerer Amplitude schwingt.

Die Art der Kopplung ist für den Ausgleich ganz wesentlich. Um da etwas Klarheit zu schaffen, haben H.Chmela und R.Smetana den gleichen Versuch mit einer starren Welle aufgebaut. Als Kopplung zwischen den Pendeln dient nur die Reibung von zwei Lagern mit Dichtringen. Das Ergebnis dieses Versuches ist so, wie es die Wärmelehre vorschreibt. Wird ein Pendel angestoßen, so nimmt es das zweite langsam mit, bis sie sich schließlich parallel mit halber Amplitude bewegen. Dann gibt es keine Reibung mehr zwischen den beiden Lagern und sie schwingen in dieser Lage aus. Die Energie des einen Pendels teilt sich also gleichmäßig auf beide auf und das kann in diesem System auch nicht mehr rückgängig gemacht werden.

 

Anfangspositionen
Pendel 1:°
Pendel 1:°
©  W. Fendt 1998
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation von gekoppelten Pendeln

Bei dieser Simulation geht es um zwei Pendel, die durch eine Feder geringer Federhärte gekoppelt sind (schwache Kopplung). Charakteristisch für solche Systeme ist das Hin- und Herpendeln der Schwingungsenergie zwischen den beiden Teilsystemen.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt das System in die Anfangsposition. Mit dem anderen Schaltknopf lässt sich die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so wird die Bewegung um den Faktor 10 verlangsamt. In den beiden Eingabefeldern lassen sich die Anfangspositionen der beiden Pendel einstellen ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Dabei bedeutet eine negative Winkelgröße eine Auslenkung nach links; ein positiver Wert steht für eine Auslenkung nach rechts.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Untersuche die Schwingung, wenn eine Ausgangssituation Null ist.

Untersuche die Schwingung, wenn beide Ausgangssituationen entgegengesetzt gleich (etwa 8° und −8°) sind.

Untersuche die Schwingung, wenn beide Ausgangssituationen gleich (zum Beispiel jeweils 10°) sind.

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video stellt Karlheinz Meier verschiedene Arten von Gekoppelten Pendeln vor und stellt einen Bezug zur modernen Elementarteilchenphysik her.

zum Video

Versuchsaufbau

Man hängt ein Federpendel mit einem langen Nylonfaden über eine Rolle an einen Motor mit Exzenter und parallel dazu einen Vergleichskörper ohne Feder. Beide bringt man in ein mit Wasser gefülltes Aquarium mit einer Gummimatte am Boden und zeigt die Schwingungen im Schattenwurf des Tageslichtschreibers.

Versuchsdurchführung

Zunächst bestimmt man die Eigenfrequenz \(f_0\) des gedämpften aber frei schwingenden Pendels durch mehrmaliges Messen der Zeit für 10 volle Schwingungen.

Anschließend wird das Pendel und der Vergleichskörper gemeinsam mit dem großen Exzenter angetrieben und die Amplitude und Phasenlage der am Vergleichskörper sichtbaren Erregerschwingung mit der Pendelschwingung verglichen.

In einem ergänzenden Versuch wird für den Fall der Resonanz der Vergleichskörper am großen Exzenter und das Pendel am um 90° versetzten kleinen Exzenter betrieben.

Versuchsergebnis

Amplitude

Wie die Amplitude der Schwingung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ist zeigt das nebenstehende Diagramm. Die obere Kurve ergibt das Bild mit geringer Dämpfung, die untere das mit großer Dämpfung.

Phasenlage

  • Ist die Erregerfrequenz gering gegenüber der Eigenfrequenz, so schwingen Erreger und Pendel gleichphasig.

  • Ist die Erregerfrequenz groß gegenüber der Eigenfrequenz, so schwingen Erreger und Pendel gegenphasig.

  • Im Falle der Eigenfrequenz schwingt der Erreger der Schwingung um \(\frac{\pi }{2}\) vorraus, was man bei versetztem Exzenter gut zeigen kann, da dann beiden Schwingungen phasengleich erscheinen.

 
  
  
  
 
  
 
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation der erzwungenen Schwingung eines Federpendels

Diese Simulation demonstriert das Resonanzverhalten eines Federpendels, das durch einen äußeren Erreger angeregt wird. Die Aufhängung eines Federpendels (grüner Kreis) wird - beispielsweise von Hand - in senkrechter Richtung hin und her bewegt, wobei diese Bewegung harmonisch ist, also durch eine Cosinusfunktion beschrieben werden kann. Die auf diese Weise verursachten Schwingungen des Federpendels bezeichnet man als erzwungene Schwingungen.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt das Federpendel in die Ausgangsposition. Mit dem anderen Schaltknopf kann man die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so erfolgt die Bewegung verlangsamt, und zwar um den Faktor 10.

Die Federkonstante, die Masse des Pendelkörpers, die Dämpfungskonstante und die Kreisfrequenz der erregenden Schwingung lassen sich mit Hilfe der Eingabefelder in gewissen Grenzen variieren ("Enter"-Taste nicht vergessen!).

Mit den Radiobuttons links unten kann man eines von drei Diagrammen auswählen:

Elongation (Auslenkung) von Erreger und Resonator in Abhängigkeit von der Zeit

Amplitude der Resonatorschwingung in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz des Erregers

Phasenunterschied zwischen Erreger- und Resonatorschwingung in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz des Erregers

Im Wesentlichen kann man drei grundlegend verschiedene Verhaltensweisen beobachten:

Im Wesentlichen kann man drei grundlegend verschiedene Verhaltensweisen beobachten:

Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen Amplitude.

Stimmt die Erregerfrequenz mit der Frequenz der Eigenschwingung überein, so schaukelt sich die Schwingung des Federpendels immer mehr auf (Resonanz); dabei sind die Schwingungen des Pendels gegenüber denen des Erregers etwa um eine viertel Schwingungsdauer verzögert.

Ist die Erregerfrequenz sehr hoch, so schwingt der Resonator nur noch mit sehr geringer Amplitude mit, und zwar beinahe gegenphasig.

Wenn die Dämpfungskonstante und damit die Reibungskraft sehr klein ist, spielen die Einschwingvorgänge eine wichtige Rolle; die oben beschriebenen grundlegenden Erscheinungen lassen sich dann erst nach längerer Zeit beobachten.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Untersuche, bei welchen Frequenzen Erreger und Resonator in Phase (gleichzeitig am ihrem höchsten und gleichzeitig an ihrem niedrigsten Punkt) sind.

Untersuche, bei welchen Frequenzen Erreger und Resonator gegenphasig (Wenn der Erreger am höchsten Punkt ist der Resonator am niedrigsten Punkt und umgekehrt) sind.

Untersuche, welche Phasenbeziehung im Resonanzfall (Maximale Amplitude des Resonators) herrscht.

Zeichne die Resonanzkurve (\(\omega \)-\(A\)-Diagramm) für kleine und große Dämpfung bei gleicher Eigenfrequenz in ein und dasselbe Diagramm.

Aufbau und Durchführung

 

Man stellt ein Experimentierwägelchen auf eine Glasplatte und hängt es zwischen zwei Federn. Eine Feder ist dabei fest fixiert, die andere wird mit einem Experimentiermotor mit Exzenter angetrieben. Dann regelt man langsam die Frequenz des Experimentiermotors von ganz langsamen Frequenzen über die Eigenfrequenz bis zu höheren Frequenzen. Vorsicht, dass die Federn nicht herausspringen oder der Wagen vom Tisch fällt!

Beobachtung

Bei geringen Frequenzen bewegt sich der Wagen kaum.

Bei der Resonanzfrequenz, die verhältnismäßig exakt getroffen werden kann, führt der Wagen unter großem Lärm Schwingungen mit bis zu \(50\rm{cm}\) Amplitude aus.

Bei hohen Frequenzen bewegt sich der Wagen wieder kaum.

Bei genauem Hinsehen kann man auch die Phasenlage von Erreger (Excenter) und Resonator (Wagen) gut beobachten.

Versuche zur Resonanz kannst du auch zu Hause mit ganz einfachen Mitteln durchführen. Du solltest dich der kleinen Mühe unterziehen. Alles was man selbst ausprobiert hat, kann man sich besser merken.

Material

  • Bindfaden von ca. 1 m Länge

  • Kleiner Gegenstand von etwa 20 g Masse (z.B. Radiergummi), welcher an den Faden gebunden wird

  • Ein Blatt Papier von etwa Postkartengröße zur Dämpfung der Schwingung

Versuch 1: Eigenschwingung

Stoße den Pendelkörper einmal kurz an und überlassen ihn dann sich selbst. Verwende die beiden skizzierten Anordnungen.

Versuch 2: Amplituden des Schwingers bei verschiedenen Frequenzen

Bringe nun das Pendel dadurch zum Schwingen, dass du die Hand, die den Aufhängepunkt des Pendels darstellt, horizontal periodisch einige Zentimeter hin- und herbewegen. Deine Hand stellt den Erreger dar, der mit einer von dir gewählten Erregerfrequenz schwingt.

Beginne mit einer sehr kleinen Erregerfrequenz und beobachte die Auswirkung auf das Pendel. Steigere die Erregerfrequenz in kleinen Schritten und beobachte. Versuche, deine Beobachtungen in einem Diagramm darzustellen, bei dem die Amplitude des Schwingers \({{\hat y}_{\rm{S}}}\) (maximale Auslenkung des Pendelkörpers) über der Frequenz aufgetragen ist.

Versuch 3: Genauere Untersuchung des Resonanzfalls

Stelle wie bei Versuch 2 den Resonanzfall her und halte dann den Erreger an. Vergleiche die Frequenz des Schwingers mit der Eigenfrequenz von Versuch 1.

Versuch 4: Phasendifferenz zwischen Schwinger und Erreger bei verschiedenen Frequenzen

Wenn du ein(e) gute(r) Beobachter(in) bist, ist dir sicher aufgefallen, dass die Erregerschwingung und die Oszillatorschwingung wohl stets mit gleicher Frequenz, aber nicht immer mit gleicher Phase erfolgen. Führe die Steigerung der Erregerfrequenz wie bei Versuch 2 nochmals durch und achte diesmal auf den Phasenunterschied zwischen Erreger- und Oszillatorschwingung. Versuche die Ergebnisse grafisch darzustellen.

Nähere Betrachtung des Resonanzfalls

Im Resonanzfall beträgt der Phasenunterschied zwischen Erreger und Schwinger π/2, d.h. beim Nulldurchgang der Erregerschwingung ist die Auslenkung des Oszillators maximal. Dies soll anhand des nebenstehenden Bildes näher erläutert werden:

Die starke Aufschaukelung im Resonanzfall kann man mit einem optimalen Energieübergang vom Erreger zum Schwinger erklären:

  • Bei der Bewegung des Pendelkörpers von 0 nach 1 gewinnt das Pendel kinetische Energie. Wir unterstützen dies sicherlich, wenn wir durch die Bewegung der Hand das Pendel hinter uns herziehen (0' → 1').

  • Von 1 nach 2 gewinnt das Pendel potentielle Energie. Diese wird umso größer sein, je weiter das Pendel ausgelenkt ist. Die Handbewegung von 1' nach 2' ist dafür genau die richtige Maßnahme.

  • Von 2 nach 3 gewinnt das Pendel wieder kinetische Energie. Dies unterstützen wir, indem wir es hinter uns herziehen (2' → 3') . . . . .

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Zusammenfassung der Ergebnisse über die Phasenverschiebung zwischen Erregung und Oszillator.

 

Aufbau:
Die Spule eines dynamischen Lautsprechers stellt ein schwingungsfähiges System dar, dass durch den Schall eines zweiten Lautsprechers angeregte werden kann.

Man ordnet zwei dynamische Lautsprecher in Opposition.

Den Erregerlautsprecher schließt man an einen Sinusgenerator variabler Frequenz an und überprüft durch ein angeschlossenes Voltmeter, dass die Ausgangsleistung konstant ist.

Die Ausgangsspannung beim empfangenden Lautsprecher misst man mit einem Millivoltmeter.

 

Durchführung:
Man regelt die Frequenz des Erregers unter Beibehaltung der Spannung langsam hoch und registriert die Ausgangsspannung beim Resonator.

Ergebnis:
Aus dem nebenstehenden Diagramm sieht man, dass der Hochton-Lautsprecher mehrere Resonanzstellen besitzt.

 

Versuchsaufbau

Resonanz von Stimmgabeln
Abb.
1
Versuch zur Resonanz von Stimmgabeln

Du ordnest zwei identische Stimmgabeln (gleiche Frequenz) so an, dass die Öffnungen ihrer Resonanzkästen gegenüberstehen. Die Zusatzmasse ist zunächst an keiner der beiden Stimmgabeln befestigt.

Erweiterungsmöglichkeit: Zusätzlich kannst du mithilfe von Stativmaterial einen Tischtennisball an einem Faden so aufhängen, dass er eine der beiden Stimmgabeln gerade berührt. Wenn die Stimmgabel nun anfängt zu schwingen, versetzt sie den Tischtennisball in kleine pendelartige Schwingung, die du mit dem bloßen Auge sehen kannst.

Versuchsdurchführung

Die Durchführung des Versuchs erfolgt in drei mehreren Teilschritten:

  1. Du schlägst die linke Stimmgabel kräftig an und hältst nach einigen Sekunden die Zinken dieser Stimmgabel fest.
  2. Du befestigst die Zusatzmasse an der rechten Stimmgabel, schlägst wiederum die linke Stimmgabel an und hältst nach einigen Sekunden die Zinken dieser Stimmgabel fest.
  3. Du befestigst die Zusatzmasse an der linken Stimmgabel, schlägst wiederum die linke Stimmgabel an und hältst nach einigen Sekunden die Zinken dieser Stimmgabel fest.

Versuchsbeobachtung

Resonanz von Stimmgabeln
Abb.
2
Versuch mit Zusatzmasse an rechter Stimmgabel
  1. Beide Stimmgabeln sind gleichartig:
    Nach dem Festhalten der ersten Stimmgabel hört man deutlich die zweite tönen.
  2. Zusatzmasse an der rechten Stimmgabel:
    Nach dem Festhalten der ersten Stimmgabel hört man die zweite nicht oder kaum.
  3. Zusatzmasse an der linken Stimmgabel:
    Nach dem Festhalten der ersten Stimmgabel hört man die zweite nicht oder kaum.

Versuchsauswertung

Nur wenn beide Stimmgabeln die identische Schwingungsfrequenz aufweisen, tritt eine besonders starke Resonanz auf. Weicht eine der beiden Stimgabeln nur ein wenig von der anderen ab, so wird der Effekt sehr viel geringer.

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video zeigt Karlheinz Meier Versuche aus verschiedenen Gebieten, die alle eines lehren: Nur wenn Sender- und Empfängerfrequenz aufeinander abgestimmt sind, kommt es zur Resonanz.

zum Video


Aufbau:
Man hängt einen Stabmagneten an einer Federwaage in eine Spule. Dabei sollte der Stabmagnet durch sein Eigengewicht die Federwaage etwa zur Hälfte ihres Messbereichs dehnen.
Die Spule wird an den Sinusgenerator (Bereich 1 Hz < f < 10 Hz) angeschlossen. Die angeschlossene Spannung wird am Oszilloskop als Vertikalauslenkung dargestellt. An die Vertikalablenkung wird keine Spannung angelegt.

Beschreibung:
Ist die Spannung am Sinusgenerator Null, so schwingt der Stabmagnet nach einmaliger Auslenkung mit der Eigenfrequenz.
Ist die Spannung am Sinusgenerator ungleich Null, so führt der Stabmagnet erzwungene Schwingungen durch. Erhöht man die Frequenz ganz langsam, so kann man gut die Resonanzstelle finden. Die Phasenverschiebung zwischen Erregerschwingung (=Schwingung des Leuchtpunktes am Oszilloskop) und Resonatorschwingung (=Schwingung des Stabmagneten) kann gut beobachtet werden.

Ergebnis:
Der Stabmagnet führt erzwungene Schwingungen in der Frequenz des Erregers durch. Ist die Erregerfrequenz gleich der Resonanzfrequenz, so ist die Amplitude des Resonators am größten und der Resonator hinkt dem Erreger um den Phasenwinkel von 90° hinterher.

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