Kopplung von Schwingungen

Mechanik

Kopplung von Schwingungen

  • Was versteht man unter energiehungrigen Schwingern?
  • Warum stürzte 1940 die Tacoma Narrows Bridge ein?
  • Kann eine Opernsängerin Gläser zerspringen lassen?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Bei zwei schwach gekoppelten Pendeln wird die Schwingungsenergie zwischen den beiden Teilsystemen hin und her übertragen.

Prototyp gekoppelter Pendel

Der Prototyp vom zwei schwach gekoppelten Pendel sind zwei Fadenpendel, die mit einer Feder miteinander verbunden sind (siehe Abb. 1). Du kannst aber gekoppelte Pendel z.B. auch aus zwei Massen zwischen drei gleichen Federn realisieren.

Anfangspositionen
Pendel 1:°
Pendel 1:°
©  W. Fendt 1998
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation von gekoppelten Pendeln

Auslenkung einer Masse

Zunächst betrachten wir den Fall, dass bei zwei schwach gekoppelten Pendeln zu Beginn nur ein Pendel ausgelenkt wird, während sich das andere Pendel in seiner Ruhelage befindet. Hier kannst du in Abb. 1 sehen, dass auch das zunächst in Ruhe befindliche Pendel langsam anfängt zu schwingen. Dafür nimmt die Auslenkung des zu Beginn ausgelenkten Pendels ab. Nach einiger Zeit schwingt für einen kurzen Moment nur das zweite Pendel, während das erste Pendel zur Ruhe kommt. Danach läuft dieser Prozess in umgekehrter Richtung ab. Pendel 1 beginnt stärker zu schwingen, bis es wieder so stark ausgelenkt wird, wie zu Beginn. Gleichzeitig nimmt die Schwingung von Pendel 2 ab, bis es wieder zur Ruhe kommt.

Bei so gekoppelten und ausgelenkten Pendeln wird also Schwingungsenergie zwischen den beiden Systemen hin und her übertragen.

Energieübertragung bei gekoppelten Pendeln

Bei gekoppelten Pendeln kann Schwingungsenergie zwischen den verschiedenen Systemen hin und her übertragen werden.

Auslenkung beider Masse

Wenn du beide Massen auslenkst, aber beiden Pendel nicht genau gleich und nicht genau entgegengesetzt, dann kannst du ebenfalls beobachten, dass sich die Schwingungen im Laufe der Zeit verändern. Pendel 1 schwingt nach der Zeit \(t\) so wie Pendel 2 zu Beginn geschwungen hat, während Pendel 2 zu diesem Zeitpunkt so schwingt, wie Pendel 1 zu Beginn. Nach der doppelten Zeit \(2t\) befindet sich das System wieder im Ausgangszustand.

Auch hier wird Schwingungsenergie zwischen den beiden Pendelsystemen hin und her übertragen, jedoch kommt keines der beiden Systeme jemals zur Ruhe. Kein Pendel hat hier jemals eine geringere Amplitude als das zu Beginn weniger weit ausgelenkte Pendel.

Gleiche und entgegengesetzte Auslenkung beider Massen

Wenn du beide Massen zu Beginn exakt gleich oder genau entgegengesetzt (z.B. +5° und -5°) auslenkst, so verändern sich die Schwingungen der beiden Pendel im Laufe der nicht. 

1 Schwinger mit der Eigenfrequenz \(f_0\), der von Erregern mit unterschiedlicher Frequenz \(f\) angeregt wird. Gleichzeitig zu sehen sind die Graphen von Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung

Wird ein schwingungsfähiges System (kurz: Schwinger oder Resonator) mit der Eigenfrequenz \(f_0\) (z.B. ein Federpendel) durch einen Erreger zu Schwingungen angeregt, so kann man Folgendes beobachten:

Der Schwinger schwingt stets mit der Erregerfrequenz \(f\). Man spricht deshalb von einer erzwungenen Schwingung.

Abhängig von der Erregerfrequenz \(f\) kann man folgende Extremfälle unterscheiden:

\(f \ll {f_0}\): niederfrequenter Bereich

Erreger und Schwinger haben etwa die gleiche Amplitude, d.h. das Amplitudenverhältnis ist ungefähr \(1\).

Erreger und Schwinger haben fast keinen Phasenunterschied (\(\Delta \varphi \approx 0\)).

\(f = f_0\): Resonanzfall

Die Amplitude des Schwingers ist größer als die des Erregers, d.h. das das Amplitudenverhältnis ist größer als \(1\).

Der Erreger eilt dem Schwinger um die Phase \(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2}\) voraus.

\(f \gg f_0\): hochfrequenter Bereich

Die Amplitude des Schwingers ist wesentlich kleiner als die des Erregers, d.h. das das Amplitudenverhältnis geht gegen \(0\).

Erreger und Schwinger besitzen fast die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi \approx \pi \).

Abhängig von der Dämpfung des Schwingers kann man folgende Fälle unterscheiden:

Schwache Dämpfung

Ist das schwingungsfähige System schwach gedämpft, so kann es zur Resonanzkatastrophe kommen. Die Resonanzstelle ist sehr scharf (rote Kurve).

Starke Dämpfung

Ist das schwingungsfähige System stark gedämpft, so ist die Amplitude des Schwingers zwar maximal, aber deutlich kleiner als im schwach gedämpften Fall. Die Resonanzkurve ist breiter und damit der Resonanzfall experimentell auch leichter aufzufinden (blaue Kurve).

Verständnisaufgabe

Ein Schwinger mit der Eigenfrequenz \(f_0\) wird von einem Erreger mit der Frequenz \(f \ne {f_0}\) angeregt. Kreuze die korrekten Aussagen an.

Lösungsvorschläge
Lösung

Der Schwinger schwingt stets mit der Erregerfrequenz \(f\). Man spricht deshalb von einer erzwungenen Schwingung.

Ein Schwinger mit der Eigenfrequenz \(f_0\) wird von einem Erreger mit der gleichen Frequenz \(f=f_0\) angeregt. Kreuze die korrekten Aussagen an.

Lösungsvorschläge
Lösung

Im Resonanzfall \(f = f_0\) eilt der Erreger dem Schwinger um die Phase \(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2}\) voraus. Die Amplitude des Schwingers ist (oft wesentlich) größer als die des Erregers, das Amplitudenverhältnis ist größer als \(1\).

Druckversion