Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Stoppen eines Balls mit der Brust

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Stoppen eines heranfliegenden Balls durch einen Fußballspieler

Wenn ein Fußballspieler der Masse \(m_2\) einen Ball der Masse \(m_1\) mit der Brust stoppt (die Masse des Fußballspielers ist groß gegenüber der Masse des Balles), bewegt er seine Brust mit einer solchen Geschwindigkeit \(v_2\) nach hinten, dass der Ball beim elastisch angenommenen Stoß seine gesamte Energie an ihn abgibt und "abtropft". Die Geschwindigkeit des Balls vor dem Stoß sei \(v_1 = v\).

a)Ermittle einen Term für die Geschwindigkeit \(v_2\) (vgl. Formelsammlung), mit welcher der Fußballspieler seine Brust beim Stoppen nach hinten bewegen muss

b)Die obigen Überlegungen kann man auf ein ähnliches Problem übertragen:

Gib an, mit welcher Geschwindigkeit sich die Schaufeln einer Turbine bewegen müssen, damit das einströmende Wasser seine gesamte kinetische Energie an die Schaufeln abgibt.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

 

a)Es werden ausschließlich die Horizontalkomponenten der Geschwindigkeiten betrachtet. Aus der Formelsammlung kann man entnehmen
\[{u_1} = \frac{{{m_1} \cdot v + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - v} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
Mit der "Abtropfbedingung" \(u_1 = 0\) folgt dann
\[0 = \frac{{{m_1} \cdot v + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - v} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} \Leftrightarrow 0 = {m_1} \cdot v + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - v} \right)\]
Dividieren beider Seiten der Gleichung durch \(m_2\) liefert
\[0 = \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \cdot v + \left( {2 \cdot {v_2} - v} \right) \quad(1)\]
Da \({m_1} \ll {m_2}\) folgt \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \approx 0\), so dass man aus \((1)\) erhält
\[2 \cdot {v_2} - v = 0 \Leftrightarrow {v_2} = \frac{v}{2}\]
Der Spieler muss seinen Oberkörper also mit der halben Ballgeschwindigkeit wegbewegen.

b)Damit das auf die Schaufeln strömende Wasser nach der Wechselwirkung mit den Schaufeln keine kinetische Energie mehr aufweist, muss die Umlaufgeschwindigkeit der Schaufeln halb so groß wie die Wassergeschwindigkeit sein.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße