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Aufgabe

Schwerpunktsatz

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Mann mit der Masse \(80\,\rm{kg}\) und ein Bub mit der Masse \(40\,\rm{kg}\) stehen wie skizziert auf einer sehr glatten Eisfläche beim Punkt A, wo sich auch der gemeinsame Schwerpunkt des Systems "Mann-Bub" befinden soll.

a)Nun stoßen sich die beiden mit den Händen voneinander ab. Berechne, wie weit die beiden jeweils nach \(5{,}0\,\rm{s}\) vom Punkt A entfernt sind, wenn sich der Mann mit \(0{,}30\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) relativ zum Eis bewegt.

b)Berechne, wo sich jetzt der gemeinsame Schwerpunkt des Systems "Mann-Bub" befindet.

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a)Beim Abstoßen der beiden voneinander gilt die Impulserhaltung. Die Summe der Impulse von Mann \(p_\text{M}\) und Bub \(p_\text{B}\) sind also zu jedem Zeitpunkt gleich. Da die beiden zu Beginn ruhen - ihr Gesamtimpuls ist zu diesem Zeitpunkt Null - muss die Summe der Impulse der beiden also auch zu jedem späteren Zeitpunkt Null ergeben. Damit ergibt sich
\[0 = {p_{\rm{M}}} + {p_{\rm{B}}} = {m_{\rm{M}}} \cdot {v_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {v_{\rm{B}}} = \frac{{ - {m_{\rm{M}}} \cdot {v_{\rm{M}}}}}{{{m_{\rm{B}}}}} \Rightarrow {v_{\rm{B}}} = \frac{{ - 80 {\rm{kg}} \cdot 0,30 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{40{\rm{kg}}}} =  - 0,60 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Nach \(5,0\rm{s}\) hat also der Mann die Strecke
\[{{s_{\rm{M}}} = {v_{\rm{M}}} \cdot t \Rightarrow {s_{\rm{M}}} = 0,30 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 5,0 {\rm{s}} = 1,5 {\rm{m}}}\]
und der Bub die Strecke
\[{{s_{\rm{B}}} = \left| {{v_{\rm{B}}}} \right| \cdot t = \left| { - 0,60 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right| \cdot 5,0 {\rm{s}} = 3,0{\rm{m}}}\]
zurückgelegt.

b)Der Schwerpunkt des Systems befindet sich nach wie vor am Punkt A, denn für den Schwerpunkt \(x_\text{A}\) gilt zu jedem Zeitpunkt \(t\)
\[{m_{\rm{B}}} \cdot \left( {{x_{\rm{A}}} - {v_{\rm{B}}} \cdot t} \right) = {-m_{\rm{M}}} \cdot \left( {{x_{\rm{A}}} - {v_{\rm{M}}} \cdot t} \right)\]
Umstellen der Gleichung nach \(x_\text{A}\) ergibt
\[{x_{\rm{A}}} = \frac{{{m_{\rm{M}}} \cdot {v_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}}}} \cdot t = \frac{{{p_{\rm{M}}} + {p_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}}}} \cdot t\]
Da die Summe der beiden Impulse nach den Überlegungen aus Aufgabeteil a) stets Null ist, ist der Zähler des Bruches konstant gleich Null. Der Schwerpunkt verbleibt also am gleichen Ort.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße