Ein Mann mit der Masse \(80\,\rm{kg}\) und ein Bub mit der Masse \(40\,\rm{kg}\) stehen wie skizziert auf einer sehr glatten Eisfläche beim Punkt A, wo sich auch der gemeinsame Schwerpunkt des Systems "Mann-Bub" befinden soll.
a)
Joachim Herz Stiftung
Leonie Englert
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe
Nun stoßen sich die beiden mit den Händen voneinander ab. Berechne, wie weit die beiden jeweils nach \(5{,}0\,\rm{s}\) vom Punkt A entfernt sind, wenn sich der Mann mit \(0{,}30\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) relativ zum Eis bewegt.
b)
Berechne, wo sich jetzt der gemeinsame Schwerpunkt des Systems "Mann-Bub" befindet.
Beim Abstoßen der beiden voneinander gilt die Impulserhaltung. Die Summe der Impulse von Mann \(p_\text{M}\) und Bub \(p_\text{B}\) sind also zu jedem Zeitpunkt gleich. Da die beiden zu Beginn ruhen - ihr Gesamtimpuls ist zu diesem Zeitpunkt Null - muss die Summe der Impulse der beiden also auch zu jedem späteren Zeitpunkt Null ergeben. Damit ergibt sich
\[0 = {p_{\rm{M}}} + {p_{\rm{B}}} = {m_{\rm{M}}} \cdot {v_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {v_{\rm{B}}} = \frac{{ - {m_{\rm{M}}} \cdot {v_{\rm{M}}}}}{{{m_{\rm{B}}}}} \Rightarrow {v_{\rm{B}}} = \frac{{ - 80 {\rm{kg}} \cdot 0,30 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{40{\rm{kg}}}} = - 0,60 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Nach \(5,0\rm{s}\) hat also der Mann die Strecke
\[{{s_{\rm{M}}} = {v_{\rm{M}}} \cdot t \Rightarrow {s_{\rm{M}}} = 0,30 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 5,0 {\rm{s}} = 1,5 {\rm{m}}}\]
und der Bub die Strecke
\[{{s_{\rm{B}}} = \left| {{v_{\rm{B}}}} \right| \cdot t = \left| { - 0,60 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right| \cdot 5,0 {\rm{s}} = 3,0{\rm{m}}}\]
zurückgelegt.
b)
Der Schwerpunkt des Systems befindet sich nach wie vor am Punkt A, denn für den Schwerpunkt \(x_\text{A}\) gilt zu jedem Zeitpunkt \(t\)
\[{m_{\rm{B}}} \cdot \left( {{x_{\rm{A}}} - {v_{\rm{B}}} \cdot t} \right) = {-m_{\rm{M}}} \cdot \left( {{x_{\rm{A}}} - {v_{\rm{M}}} \cdot t} \right)\]
Umstellen der Gleichung nach \(x_\text{A}\) ergibt
\[{x_{\rm{A}}} = \frac{{{m_{\rm{M}}} \cdot {v_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}}}} \cdot t = \frac{{{p_{\rm{M}}} + {p_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{M}}} + {m_{\rm{B}}}}} \cdot t\]
Da die Summe der beiden Impulse nach den Überlegungen aus Aufgabeteil a) stets Null ist, ist der Zähler des Bruches konstant gleich Null. Der Schwerpunkt verbleibt also am gleichen Ort.
