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Aufgabe

Landung auf einem Baumstamm

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Baumstamm der Masse \(45\,{\rm{kg}}\) schwimmt mit einer Geschwindigkeit von \(8\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) flussabwärts. Ein Schwan der Masse \(10\,{\rm{kg}}\) versucht, mit einer Geschwindigkeit von \(8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) flussaufwärts auf dem Stamm zu landen. Er gleitet jedoch ab und landet am Ende des Stammes mit einer Geschwindigkeit von \(2{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) flussaufwärts im Wasser.

Berechne die Geschwindigkeit des Baumstamms nach dem Vorgang und die dabei entwertete kinetische Energie.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Bei der Lösung der Aufgabe musst du beachten, dass die Geschwindigkeiten flussabwärts und flussaufwärts unterschiedliche Vorzeichen haben müssen. Wir setzen Geschwindigkeiten flussabwärts positiv und Geschwindigkeiten flussaufwärts negativ und setzen für den Baumstamm \({{m_1} = 45\,{\rm{kg}}}\) und \({{v_1} = 8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\), für den Schwan \({{m_2} = 10\,{\rm{kg}}}\) und \({{v_2} =  - 8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) vor dem Vorgang und  \({{v_2}^\prime  =  - 2{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) nach dem Vorgang. Gesucht ist dann zuerst die Geschwindigkeit \({v_1}^\prime\) des Baumstamms nach dem Vorgang und dann die beim Vorgang entwertete Energie \(\Delta E\).

Aus dem Impulserhaltungssatz\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \Leftrightarrow {v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} - {m_2} \cdot {v_2}^\prime }}{{{m_1}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_1}^\prime = \frac{{45\,{\rm{kg}} \cdot 8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} + 10\,{\rm{kg}} \cdot \left( - 8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \right) - 10\,{\rm{kg}} \cdot \left(-2{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}} \right)}}{{45\,{\rm{kg}}}} = 6{,}7\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 45\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 10\,{\rm{kg}} \cdot {\left( { - 8{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 45\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {6{,}7\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 10\,{\rm{kg}} \cdot {\left( { -2{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} = 730\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2}\]Rechnen wir die \({\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) noch in \({\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}}\) um, so erhalten wir\[\Delta E = 730\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} = 730\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{1}{{3{,}6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 56\,{\rm{J}}\]

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.