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Aufgabe

Fortbewegen in der Steinzeit

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Auf einem zunächst ruhenden Wagen der Masse \(130\rm{kg}\) steht ein Mann mit der Masse \(65\rm{kg}\). Neben ihm auf dem Wagen liegen zwei Steine von je \(5{,}0\,\rm{kg}\) Masse. Der Mann ist in der Lage, einen Stein \(0{,}25\,\rm{s}\) lang mit der Kraft \(80\,\rm{N}\) horizontal nach hinten aus dem Wagen zu stoßen.

a)Berechnen Sie die Beschleunigung, die der so geworfene Stein durch den Kraftstoß erfährt und die Geschwindigkeit, die der Stein nach dem Kraftstoß relativ zum Wagen besitzt.

Wir gehen im nächsten Aufgabenteil davon aus, dass der Mann in der Lage ist, beide Steine gleichzeitig nach hinten aus dem Wagen zu stoßen und dies auch tut.

b)Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit der Wagen (relativ zur ruhenden Umgebung) nach dem gleichzeitigen Herauswerfen beider Steine hat.

In diesem Aufgabenteil soll der Mann nun die beiden Steine nacheinander nach hinten aus dem Wagen stoßen.

c)Berechnen Sie auch für diesen Fall, welche Geschwindigkeit der Wagen (relativ zur ruhenden Umgebung) nach dem aufeinanderfolgenden Herauswerfen beider Steine hat.

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a)Für die Beschleunigung \(a\) des Steines nach vorn (positives Vorzeichen) ergibt sich
\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \Rightarrow a = \frac{{80{\rm{N}}}}{{5{\rm{kg}}}} = 16\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Somit ergibt sich für die Relativgeschwindigkeit \({v_S}\) des Steins nach dem Stoß
\[{v_S} = a \cdot t \Rightarrow {v_S} = 16\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,25{\rm{s}} = 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Alternativer Rechenweg:
\[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \frac{{m \cdot \Delta v}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \Delta v = \frac{{F \cdot \Delta t}}{m} \Rightarrow \Delta v = \frac{{80{\rm{N}} \cdot 0,25{\rm{s}}}}{{5{\rm{kg}}}} = 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Der Stein bewegt sich also nach dem Stoß mit einer Geschwindigkeit von \(4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) relativ zum Wagen, genauer zur Geschwindigkeit des Wagens vor dem Abwurf. Diese Relativgeschwindigkeit ändert sich selbstverständlich nach dem Abwurf dadurch, dass der Wagen selbst in die andere Richtung beschleunigt wird.

b)Die Geschwindigkeit des Wagens nach dem Herauswerfen beider Steine ergibt sich nun mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes. Vor dem Herauswerfen war der Gesamtimpuls des Systems 0, nach dem Herauswerfen bewegen sich zwei Steine mit der Geschwindigkeit \(v_S = 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach rechts und der Wagen mit dem Mann mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v_W\) nach links:
\[0 = 2 \cdot {m_S} \cdot {v_S} + \left( {{m_W} + {m_M}} \right) \cdot {v_W} \Leftrightarrow {v_W} =- \frac{{2 \cdot {m_S}}}{{{m_W} + {m_M}}} \cdot {v_S}\]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt
\[{v_W} =  - \frac{{2 \cdot 5,0{\rm{kg}}}}{{130{\rm{kg}} + 65{\rm{kg}}}} \cdot 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} =- 0,20(5)\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
wobei die angegebene 3 Nachkommastelle nur hinsichtlich der Ergebnisse von Aufgabenteil c) genannt wird (sie ist nicht gültig).

c)Die Geschwindigkeit des Wagens nach dem Herauswerfen des ersten Steins ergibt sich wieder mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes. Vor dem Herauswerfen war der Gesamtimpuls des Systems 0, nach dem Herauswerfen bewegt sich ein Stein mit der Geschwindigkeit \(v_{S,1} = 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach rechts und der Wagen mit dem Mann und dem anderen Stein mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v_{W,1}\) nach links:
\[0 = {m_S} \cdot {v_{S,1}} + \left( {{m_W} + {m_M} + {m_S}} \right) \cdot {v_{W,1}} \Leftrightarrow {v_{W,1}} =- \frac{{{m_S}}}{{{m_W} + {m_M} + {m_S}}} \cdot {v_{S,1}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt
\[{v_{W,1}} =- \frac{{5,0{\rm{kg}}}}{{130{\rm{kg}} + 65{\rm{kg + }}5,0{\rm{kg}}}} \cdot 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} =- 0,10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Nun wird es interessant: Der zweite Stein wird mit einer Relativgeschwindigkeit von \(v_S = 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) entgegengesetzt zum mit der Geschwindigkeit \(v_{W,1} = - 0,10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) fahrenden Wagen herausgeworfen und hat somit zur ruhenden Umgebung eine Geschwindigkeit von \(v_{S,2} = 3,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Die Geschwindigkeit des Wagens nach dem Herauswerfen des zweiten Steins ergibt sich wieder mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes. Vor dem Herauswerfen war der Gesamtimpuls des Systems 0, nach dem Herauswerfen bewegt sich ein Stein mit der Geschwindigkeit \(v_{S,1} = 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und ein zweiter mit der Geschwindigkeit \(v_{S,2} = 3,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach rechts und der Wagen mit dem Mann mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v_{W,2}\) nach links:
\[0 = {m_S} \cdot {v_{S,1}} + {m_S} \cdot {v_{S,2}} + \left( {{m_W} + {m_M}} \right) \cdot {v_{W,2}} \Leftrightarrow {v_{W,2}} =- \frac{{{m_S} \cdot {v_{S,1}} + {m_S} \cdot {v_{S,2}}}}{{{m_W} + {m_M}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt
\[{v_{W,2}} =- \frac{{5,0{\rm{kg}} \cdot 4,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + 5,0{\rm{kg}} \cdot 3,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{130{\rm{kg}} + 65{\rm{kg}}}} =- 0,20(3)\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Man sieht an den Ergebnissen der Aufgabenteile b) und c), dass es einen Unterschied macht, ob die beiden Steine gleichzeitig oder nacheinander aus dem Wagen geworfen werden.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße