Impulserhaltung und Stöße

Joachim Herz Stiftung

Die Geschwindigkeit \(u_1\) des Brettes nach der Wechselwirkung mit dem Geschoss kann aus der Steighöhe des Brettes und unter Anwendung des Energiesatzes ermittelt werden. Zuerst berechnet man dazu mit Hilfe der Trigonometrie die Höhe \(h\), um die das Brett angehoben wird:\[\cos \left( \alpha  \right) = \frac{{l - h}}{l} \Leftrightarrow h = l \cdot \left( {1 - \cos \left( \alpha  \right)} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = 1,0{\rm{m}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {12^\circ } \right)} \right) = 0,022{\rm{m}}\]Nun berechnet man mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes für das Brett die Geschwindigkeit \(u_1\) des Brettes direkt nach dem Durchschuss. Aus\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,A}}}} + {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,B}}}} + {E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}}\]folgt mit \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = 0\) und \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,B}}}} = 0\)\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,A}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {u_1}^2 = {m_1} \cdot g \cdot h \Leftrightarrow {u_1}^2 = 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow {u_1} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{u_1} = \sqrt {2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,022{\rm{m}}}  = 0,66\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Die Berechnung von \(u_2\) erfolgt mit dem Impulserhaltungssatz. Da die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß ist, gilt\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {u_1} + {m_2} \cdot {u_2} \Leftrightarrow {u_2} = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} - {m_1} \cdot {u_1}}}{{{m_2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{u_2} = \frac{{2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + 0{,}010\,{\rm{kg}} \cdot 400\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 0{,}66\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0{,}010\,{\rm{kg}}}} = 270\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Da die Angaben nur auf zwei gültige Ziffern genau sind, ist das Endergebnis auf zwei gültige Ziffern gerundet.

Die in innere Energie umgewandelte mechanische Energie berechnet sich als die Differenz der Kinetischen Energie der Kugel vor dem Durchschuss und der Summe der kinetischen Energien von Kugel und Brett nach dem Durchschuss:\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 - \left( {\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {u_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {u_2}^2} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 0{,}010\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {400\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \left( {\frac{1}{2} \cdot 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {0{,}66\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + \frac{1}{2} \cdot 0{,}010\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {270\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} \right) = 440\,{\rm{J}}\]

Mit dem Impulserhaltungssatz lässt sich die Geschwindigkeit \(u\) des Brettes samt Geschoss nach der Wechselwirkung bestimmen. Da wieder die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß ist, gilt\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot u \Leftrightarrow u = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[u = \frac{{2,0{\rm{kg}} \cdot 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + 0,010{\rm{kg}} \cdot 400\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,0{\rm{kg}} + 0,010{\rm{kg}}}} = 2,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Mit dem Energieerhaltungssatz lässt sich nun die Steighöhe des Pendels berechnen. Aus\[{E_{{\rm{kin}},{\rm{A}}}} + {E_{{\rm{pot}},{\rm{A}}}} = {E_{{\rm{kin}},{\rm{B'}}}} + {E_{{\rm{pot}},{\rm{B'}}}}\]folgt mit \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = 0\) und \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,B'}}}} = 0\)\[{E_{{\rm{kin}},{\rm{A}}}} = {E_{{\rm{pot}},{\rm{B'}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {u^2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot g \cdot h' \Leftrightarrow h' = \frac{{{u^2}}}{{2 \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h' = \frac{{{{\left( {2,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 0,20{\rm{m}}\]Aus der Steighöhe lässt sich nun der Auslenkwinkel \({\alpha '}\) berechnen: \[\cos \left( {\alpha '} \right) = \frac{{l - h'}}{l} \Rightarrow \cos \left( {\alpha '} \right) = \frac{{1,0{\rm{m}} - 0,20{\rm{m}}}}{{1,0{\rm{m}}}} = 0,80 \Rightarrow \alpha ' = 37^\circ \]