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Aufgabe

Sonnenmasse und -fallbeschleunigung

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Bestimme aus dem Bahnradius der Erde um die Sonne (näherungsweise wird eine Kreisbahn angenommen) und der Umlaufdauer der Erde um die Sonne die Masse der Sonne.

b)Bestimme die Fallbeschleunigung der Sonne und drücke diese als Vielfaches der Erdbeschleunigung \(g\) aus. Der Sonnenradius darf als bekannt angenommen werden.

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a)Die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft ist durch die Gravitationskraft gegeben:
\[G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{{\rm{ES}}}}^2}} = {m_{\rm{E}}} \cdot {r_{{\rm{ES}}}} \cdot {\omega ^2}\]
Mit \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T}\) bzw. \({\omega ^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\) ergibt sich
\[G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{{\rm{ES}}}}^2}} = \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {r_{{\rm{ES}}}} \cdot 4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{S}}} = \frac{{{r_{{\rm{ES}}}}^3 \cdot 4{\pi ^2}}}{{G \cdot {T^2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{m_{\rm{S}}} = \frac{{{{\left( {1,496 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}} \right)}^3} \cdot 4{\pi ^2}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 1,99 \cdot {10^{30}}{\rm{kg}}\]

b)Die Gewichtskraft ist einerseits gleich Masse mal Beschleunigung, andererseits gleich der Gravitationskraft. Das bedeutet
\[{m \cdot {a_{\rm{S}}} = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}} \Leftrightarrow {a_{\rm{S}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{a_{\rm{S}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,99 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6,96 \cdot {{10}^8}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 274\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \approx 28 \cdot g\]