Gravitationsgesetz und -feld

Die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft ist durch die Gravitationskraft gegeben:
\[G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{{\rm{ES}}}}^2}} = {m_{\rm{E}}} \cdot {r_{{\rm{ES}}}} \cdot {\omega ^2}\]
Mit \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T}\) bzw. \({\omega ^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\) ergibt sich
\[G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{{\rm{ES}}}}^2}} = \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {r_{{\rm{ES}}}} \cdot 4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{S}}} = \frac{{{r_{{\rm{ES}}}}^3 \cdot 4{\pi ^2}}}{{G \cdot {T^2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{m_{\rm{S}}} = \frac{{{{\left( {1,496 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}} \right)}^3} \cdot 4{\pi ^2}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 1,99 \cdot {10^{30}}{\rm{kg}}\]

Die Gewichtskraft ist einerseits gleich Masse mal Beschleunigung, andererseits gleich der Gravitationskraft. Das bedeutet
\[{m \cdot {a_{\rm{S}}} = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}} \Leftrightarrow {a_{\rm{S}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{a_{\rm{S}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,99 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6,96 \cdot {{10}^8}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 274\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \approx 28 \cdot g\]