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Aufgabe

Kräftefrei

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Mond
von Gregory H. Revera (Eigenes Werk) [CC-BY-SA-3.0 oder GFDL],
via Wikimedia Commons

Auf der Verbindungslinie von Erde und Mond gibt es einen Punkt, an dem ein Körper von beiden Himmelskörpern mit gleich großer entgegengesetzter Kraft angezogen wird, den sogenannten abarischen Punkt.

Berechne die Entfernung dieses Punktes von der Erde.

Hinweis: Wenn man nutzt, dass der Radius der Mondbahn etwa 60 mal so groß wie der Radius der Erdkugel ist und die Erde eine etwa 81 mal so große Masse wie der Mond hat, dann kann man die gefragte Entfernung einfach als Vielfaches des Erdradius angeben.

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Ein Körper der Masse \(m\), der sich am Punkt \(\rm{A}\) befindet, werde von der Erde mit der Kraft \({\vec F_1}\) mit
\[{F_1} = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_1}^2}}\]
und vom Mond mit der Kraft \({{\vec F}_2}\) mit
\[{F_2} = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{r_2}^2}}\]
angezogen. Da im Punkt \(\rm{A}\) die Beträge dieser beiden Kräfte gleich groß sein sollen, gilt
\[G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_1}^2}} = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{r_2}^2}}\]
Daraus folgt
\[\frac{{{m_{\rm{E}}}}}{{{r_1}^2}} = \frac{{{m_{\rm{M}}}}}{{{r_2}^2}} \Leftrightarrow {m_{\rm{E}}} \cdot {r_2}^2 = {m_{\rm{M}}} \cdot {r_1}^2\]
Setzt man nun \({m_{\rm{E}}} = 81 \cdot {m_{\rm{M}}}\) und \({r_1} + {r_2} = 60 \cdot {r_{\rm{E}}} \Leftrightarrow {r_2} = 60 \cdot {r_{\rm{E}}} - {r_1}\), so ergibt sich
\[81 \cdot {m_{\rm{M}}} \cdot {\left( {60 \cdot {r_{\rm{E}}} - {r_1}} \right)^2} = {m_{\rm{M}}} \cdot {r_1}^2 \Leftrightarrow 81 \cdot {\left( {60 \cdot {r_{\rm{E}}} - {r_1}} \right)^2} = {r_1}^2\]
Löst man mit Hilfe der 2. Binomischen Formel und des Distributivgesetzes die Klammer auf der linken Seite der Gleichung auf, so ergibt sich
\[81 \cdot \left( {3600 \cdot {r_{\rm{E}}}^2 - 120 \cdot {r_{\rm{E}}} \cdot {r_1} + {r_1}^2} \right) = {r_1}^2 \Leftrightarrow 291600 \cdot {r_{\rm{E}}}^2 - 9720 \cdot {r_{\rm{E}}} \cdot r_1 + 81 \cdot {r_1}^2 = {r_1}^2 \]
Bringt man alle Teile dieser Gleichung auf deren linke Seite, so erhält man die Quadratische Gleichung
\[80 \cdot {r_1}^2 - 9720 \cdot {r_{\rm{E}}} \cdot r_1 + 291600 \cdot {r_{\rm{E}}}^2 = 0\]
für die Unbekannte \({r_1}\). Als Lösungen dieser Quadratischen Gleichung erhält man
\[L = \left\{ {54 \cdot {r_{\rm{E}}}\;;\;67,5 \cdot {r_{\rm{E}}}} \right\}\]
Der abarische Punkt \(\rm{A}\) liegt somit \(54\) Erdradien vom Erdmittelpunkt und \(6\) Erdradien vom Mondmittelpunkt entfernt. Die beiden Gravitationskräfte sind in diesem Punkt gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. In einem Punkt \(\rm{B}\), der \(67,5\) Erdradien vom Erdmittelpunkt und zugleich \(7,5\) Erdradien vom Mondmittelpunkt entfernt ist, also von der Erde aus betrachtet jenseits der Mondbahn liegt, sind die beiden Gravitationskräfte ebenfalls vom gleichen Betrag. Allerdings haben sie in diesem Punkt die gleiche Richtung und heben sich somit in ihrer Wirkung nicht auf. Der Punkt \(\rm{B}\) erfüllt deshalb nicht die Forderung der Aufgabenstellung.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld