Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Gravitationsbeschleunigungen

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Gegeben seinen die folgenden Daten dreier Himmelskörper:

Himmelskörper
Masse \(M\) in \({\rm{kg}}\) \(6,0 \cdot {10^{24}}\) \(7,3 \cdot {10^{22}}\) \(1,0 \cdot {10^{13}}\)
Radius \(r\) in \({\rm{m}}\) \(6,4 \cdot {10^6}\) \(1,7 \cdot {10^6}\) \(2,0 \cdot {10^3}\)

a)Bestimmen Sie für die drei Himmelskörper Erde, Erdmond und Komet 67P-Tschurjumow-Gerasimenko (dieser Komet ist das Ziel der Aufsehen erregenden ESA-Mission) die Gravitationsbeschleunigungen auf der Oberfläche der Himmelskörper aus den in der Tabelle gegebenen Daten. Zur Vereinfachung werde angenommen, dass die Himmelskörper kugelförmig sind (was beim Kometen sicher nicht der Fall ist).

b)Drücken Sie die Gravitationsbeschleunigungen auf dem Mond und auf dem Planeten durch die Erdbeschleunigung \(g\) aus.

c)Das Landegerät (Lander) der ESA-Mission zum Kometen 67P hat eine Masse von \(100\,\rm{kg}\). Bestimmen Sie die Anziehungskraft des Landers auf den drei betrachteten Himmelskörpern.

d)Recherchieren Sie im Internet, mit welchen Hilfsmitteln der Lander ausgestattet ist, damit eine sichere "Haftung" auf der Kometenoberfläche gewährleistet ist.

 

Credits Abbildungen
Erde: von NASA/Apollo 17 crew; taken by either Harrison Schmitt or Ron Evans [Public domain], via Wikimedia Commons
Mond: von Gregory H. Revera (Eigenes Werk) [CC-BY-SA-3.0 oder GFDL], via Wikimedia Commons
Komet 67P: von ESA/Rosetta/NAVCAM, CC BY-SA IGO 3.0 [CC BY-SA 3.0-igo], via Wikimedia Commons

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Für die auf einen Körper der Masse \(m\) wirkende Gravitationskraft \({F_{\rm{G}}}\) auf der Oberfläche eines Himmelskörpers (Masse \(M\), Radius \(r\)) gilt
\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}}\]
Nach dem zweiten Gesetz von NEWTON gilt für die Gravitationsbeschleunigung \(a\) auf der Oberfläche des Himmelskörpers
\[m \cdot a = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow a = G \cdot \frac{M}{{{r^2}}}\]
Somit ergibt sich für die drei zu betrachtenden Himmelskörper
\[{\rm{Erde}}:\quad{a_{\rm{E}}} = G \cdot \frac{{{M_{\rm{E}}}}}{{r_{\rm{E}}^2}} \Rightarrow {a_{\rm{E}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{6,0 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6,4 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
\[{\rm{Mond}}:\quad{a_{\rm{M}}} = G \cdot \frac{{{M_{\rm{M}}}}}{{r_{\rm{M}}^2}} \Rightarrow {a_{\rm{M}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{7,3 \cdot {{10}^{22}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {1,7 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}}  = 1,7\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
\[{\rm{Komet\;P67}}:\quad{a_{\rm{K}}} = G \cdot \frac{{{M_{\rm{K}}}}}{{r_{\rm{K}}^2}} \Rightarrow {a_{\rm{K}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,0 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {2,0 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

b)Für den Mond und den Kometen gilt
\[{\rm{Mond}}:\quad{a_{\rm{M}}} = \frac{{1,7}}{{9,8}} \cdot g \approx \frac{1}{6} \cdot g \approx 0,17 \cdot g\]
\[{\rm{Komet\;P67}}:\quad{a_{\rm{K}}} = \frac{{1,6 \cdot {{10}^{ - 4}}}}{{9,8}} \cdot g \approx 0,000016 \cdot g\]

c)Für die Gewichtskraft \({F_{\rm{G}}}\) auf dem jeweiligen Himmelskörper gilt
\[{F_{{\rm{G}}{\rm{,H}}}} = m \cdot {a_{\rm{H}}}\]
Für die Gewichtskraft einer Masse von \(100\rm{kg}\) gilt auf der Oberfläche der verschiedenen Himmelskörper
\[{\rm{Erde}}:\quad{F_{{\rm{G,E}}}} = 100{\rm{kg}} \cdot 9,8\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 9,8 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]
\[{\rm{Mond}}:\quad{F_{{\rm{G,M}}}} = 100{\rm{kg}} \cdot 1,7\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 1,7 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]
\[{\rm{Komet P67}}:\quad{F_{{\rm{G,K}}}} = 100{\rm{kg}} \cdot 1,6 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{N}}\]

d)Aufgrund des geringen Lander-Gewichts auf dem Kometen besteht die Gefahr, dass der Lander aufsetzt und dann wieder vom Landepunkt "weghopst". Daher versah man die drei Füße des Landers an deren Enden mit kleinen Eisbohrern, die den Lander unmittelbar nach dem Bodenkontakt festkrallen sollen. Beim ersten Kontakt mit dem Boden sollte zudem eine Kaltgasdüse an der Lander-Oberseite gezündet werden, die den Lander auf den Kometen drückt. Darüber hinaus sollte eine Harpune deren Geschoß sich im Kometen "festkrallt" dafür sorgen, dass der Lander sicher steht. Leider gelang die Landung am 12. November 2014 nicht ganz optimal: Philae (so heißt der Lander) machte wahrscheinlich zwei "Hopser" bis er schließlich in einer ungünstigen Lage zur Ruhe kam. Die Endposition des Landers ist deshalb ungünstig, weil die dortige Sonneneinstrahlung nicht ausreicht, um die Solarbatterien effektiv zu laden.