Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Erdmasse

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Mond bewegt sich mit einer Umlaufzeit von \(T = 27{,}3\,\rm{d}\) um die Erde. Der Radius der als Kreis um den Erdmittelpunkt angenommenen Mondbahn ist \( R = 3{,}84 \cdot 10^5\,\rm{km} \). Der Mondradius beträgt \( r = 1{,}74 \cdot 10^3\,\rm{km} \), die mittlere Dichte des Mondes \( \rho = 3{,}34\,\rm{\frac{g}{cm^3}} \) und die Gravitationskonstante hat den Wert \( G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\rm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}} \).

a)Bestimme die Bahngeschwindigkeit \(v\) des Mondes sowie die Zentripetalbeschleunigung \(a_{\rm{ZP}}\) auf seiner Kreisbahn.

b)Berechne den Betrag der Kraft, die die Erde auf den Mond ausübt.

c)Berechne die Masse der Erde, ohne die Mondmasse zu verwenden.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Nach Voraussetzung bewegt sich der Mond auf einer Kreisbahn um den Erdmittelpunkt. Der Fahrstrahl von der Erde zum Mond ist somit immer gleich lang. Nach dem zweiten KEPLERschen Gesetz legt der Mond daher in gleichlangen Zeitintervallen gleichlange Wege zurück. Folglich ist der Betrag der Bahngeschwindigkeit \(v\) konstant. Er lässt sich aus dem in einem Monat zurückgelegten Weg berechnen. Es gilt
\[{v = \frac{u}{T} = \frac{{2\pi  \cdot R}}{T} \Rightarrow v = \frac{{2\pi  \cdot 3,84 \cdot {{10}^5} {\rm{km}}}}{{27,3 {\rm{d}}}} = \frac{{2\pi  \cdot 3,84 \cdot {{10}^8}{\mkern 1mu} {\rm{m}}}}{{27,3 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60{\rm{s}}}} = 1{,}02 \cdot {{10}^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]
Die Richtung der Bahngeschwindigkeit weist im jeweiligen Bahnpunkt in Richtung der Tangente an den Bahnkreis. Die Zentripetalbeschleunigung \({{{\vec a}_{{\rm{ZP}}}}}\) ist an jedem Bahnpunkt auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet. Für ihren Betrag gilt
\[{{a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{v^2}}}{R} \Rightarrow {a_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{{\left( {1,02 \cdot {{10}^3} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{3,84 \cdot {{10}^8}{\rm{m}}}} = 2{,}72 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]

b)Die Erde übt auf den Mond eine zum Erdschwerpunkt hinweisende Zentripetalkraft \({{{\vec F}_{{\rm{ZP}}}}}\) aus. Für diese gilt
\[{{F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot {a_{{\rm{ZP}}}}}\]
Dabei ist \(m\) die Mondmasse und \({{a_{{\rm{ZP}}}}}\) der in der Teilaufgabe a) berechnete Betrag der Zentripetalbeschleunigung. Der Mond wird als Kugel mit dem gegebenen Radius und der gegebenen mittleren Dichte angenommen. Daher gilt für seine Masse \(m\)
\[m = \rho  \cdot V = \rho  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\]
Damit folgt
\[{{F_{{\rm{ZP}}}} = \rho  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot {a_{{\rm{ZP}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& 3,34 \frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {1,74 \cdot {{10}^3} {\rm{km}}} \right)^3} \cdot 2,72 \cdot {10^{ - 3}} \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\\ &=& 3,34 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {1,74 \cdot {{10}^6} {\rm{m}}} \right)^3} \cdot 2,72 \cdot {10^{ - 3}} \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\\ &=& 2,00 \cdot {10^{20}} {\rm{N}}\end{eqnarray}\]

c)Die Gravitationskraft mit der die Erde den Mond anzieht, wirkt als Zentripetalkraft, die diesen auf die Kreisbahn um die Erde zwingt. Folglich gilt
\[{{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{R^2}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{R}}\]
Mit der in Teilaufgabe a) bereits benutzten Beziehung \({v = \frac{{2\pi  \cdot R}}{T}}\) folgt daraus
\[{\frac{{G \cdot M}}{{{R^2}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {R^2}}}{{R \cdot {T^2}}} \Leftrightarrow M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {R^3}}}{{G \cdot {T^2}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {3,84 \cdot {{10}^8}{\mkern 1mu} {\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}{\mkern 1mu} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {27,3 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60{\mkern 1mu} {\rm{s}}} \right)}^2}}} = 6{,}02 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}\]