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Aufgabe

Bestimmung der Erdmasse

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Umlaufbahn des Mondes um die Erde

Nimmt man an, dass sich der Mond auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt, so lässt sich bei bekannter Gravitationskonstante \(G\) aus dem Abstand von Erde und Mond und der Umlaufdauer des Mondes die Masse \(m_{\rm{E}}\) der Erde bestimmen.

Die folgenden Arbeitsaufträge sollen dich zu diesem Ergebnis führen.

Nutze die folgenden Daten:

Mittlerer Abstand von Erde und Mond: \(r_{\rm{EM}}=384\,400\,\rm{km}\)

Umlaufdauer des Mondes: \(T = 27{,}3\,\rm{d}\)

Mondradius: \(R_{\rm{M}} = 1740\,\rm{km}\)

Dichte des Mondes: \( \rho_{\rm{M}} = 3{,}34\,\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\)

Gravitationskonstante: \( G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{kg}\,\rm{s}^2}\)

a)

Berechne den Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit des Mondes.

b)

Berechne den Betrag \(a_{\rm{ZP}}\) der Zentripetalbeschleunigung, die der Mond auf seiner Kreisbahn erfährt.

c)

Berechne den Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der Kraft, die die Erde auf den Mond ausübt.

d)

Berechne die Masse \(m_{\rm{E}}\) der Erde, ohne dabei die Mondmasse zu verwenden.

e)

Vergleiche das Ergebnis aus Aufgabenteil d) mit dem Literaturwert \(m_{\rm{E}}=5{,}97 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\).

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a)

Wie in der Aufgabenstellung gesagt nehmen wir an, dass sich der Mond auf einer Kreisbahn um den Erdmittelpunkt bewegt. Der Fahrstrahl von der Erde zum Mond ist somit immer gleich lang. Nach dem zweiten KEPLERschen Gesetz legt der Mond daher in gleichlangen Zeitintervallen gleichlange Wege zurück. Folglich ist der Betrag der Bahngeschwindigkeit \(v\) konstant. Er lässt sich aus dem während der Umlaufdauer \(T\) zurückgelegten Strecke, nämlich dem Kreisumfang \(u\) der Bahn, berechnen:\[v = \frac{u}{T} = \frac{2 \cdot \pi  \cdot r_{\rm{EM}}}{T}\]Mit \(r_{\rm{EM}}=384\,400\,\rm{km}=384\,400 \cdot 10^3\,\rm{m}\) und \(T = 27{,}3\,\rm{d}=27{,}3 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\,\rm{s}=2{,}36 \cdot 10^6\,\rm{s}\) liefert das Einsetzen der gegebenen Werte\[v = \frac{2 \cdot \pi  \cdot 384\,400 \cdot 10^3\,\rm{m}}{2{,}36 \cdot 10^6\,\rm{s}} = 1{,}02 \cdot {10}^3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

b)

Für den Betrag \(a_{\rm{ZP}}\) der Zentripetalbeschleunigung gilt\[a_{\rm{ZP}} = \frac{v^2}{r_{\rm{EM}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a_{\rm{ZP}} = \frac{\left( 1{,}02 \cdot {10}^3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \right)^2}{384\,400 \cdot 10^3\,\rm{m}} = 2{,}72 \cdot 10^{-3}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]

c)

Die Erde übt auf den Mond eine zum Erdschwerpunkt hinweisende Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) aus. Für diese gilt\[F_{\rm{ZP}} = m_{\rm{M}} \cdot a_{\rm{ZP}}\]Dabei ist \(m_{\rm{M}}\) die Mondmasse und \(a_{\rm{ZP}}\) der in der Teilaufgabe a) berechnete Betrag der Zentripetalbeschleunigung. Der Mond wird als Kugel mit dem gegebenen Radius \(R_{\rm{M}} = 1740\,\rm{km} = 1740 \cdot 10^3\,\rm{m}\) und der gegebenen mittleren Dichte \( \rho_{\rm{M}} = 3{,}34\,\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}=3{,}34\,\frac{10^{-3}\,\rm{kg}}{\left(10^{-2}\,\rm{m}\right)^3}=3340\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\) angenommen. Daher gilt für die Masse \(m_{\rm{M}}\)\[m_{\rm{M}} = \rho_{\rm{M}}  \cdot V_{\rm{M}} = \rho_{\rm{M}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {{R_{\rm{M}}}^3}\]Damit folgt\[F_{\rm{ZP}} = \rho_{\rm{M}}  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {{R_{\rm{M}}}^3} \cdot a_{\rm{ZP}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F_{\rm{ZP}} = 3340\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( 1740 \cdot 10^3\,\rm{m} \right)^3} \cdot 2{,}72 \cdot 10^{-3}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}= 2{,}00 \cdot 10^{20}\,\rm{N}\]

d)

Die Gravitationskraft, mit der die Erde den Mond anzieht, wirkt als Zentripetalkraft, die diesen auf die Kreisbahn um die Erde zwingt. Folglich gilt\[\begin{eqnarray}{F_{\rm{G}}} &=& {F_{{\rm{ZP}}}}\\G \cdot \frac{{{m_{\rm{M}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{r_{{\rm{EM}}}^2}} &=& \frac{{{m_{\rm{M}}} \cdot {v^2}}}{{{r_{{\rm{EM}}}}}}\end{eqnarray}\]Mit der in Teilaufgabe a) bereits benutzten Beziehung \(v = \frac{2 \cdot \pi  \cdot r_{\rm{EM}}}{T}\) folgt daraus\[\begin{eqnarray}\frac{{G \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{r_{{\rm{EM}}}^2}} &=& \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot r_{{\rm{EM}}}^2}}{{{r_{{\rm{EM}}}} \cdot {T^2}}}\\{m_{\rm{E}}} &=& \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot r_{{\rm{EM}}}^3}}{{G \cdot {T^2}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[m_{\rm{E}} = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot \left( 384\,400 \cdot 10^3\,\rm{m} \right)^3}{6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{kg}\,\rm{s}^2} \cdot \left(2{,}36 \cdot 10^6\,\rm{s}\right)^2} = 6{,}04 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\]

e)

Man vergleicht den eigenen Wert mit dem Literaturwert, indem man die relative Abweichung des eigenen Wertes vom Literaturwert berechnet. Man erhält\[p\%  = \frac{{\left| {5{,}97 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}} - 6{,}04 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}} \right|}}{{5{,}97 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}} = 0{,}012 = 1{,}2\% \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld