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Aufgabe

Bestimmung von Masse und Dichte der Erde

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Henry CAVENDISH (1731 - 1810) gelang es im Jahr 1798 mit einer Gravitationswaage zum ersten Mal, den Wert der Gravitationskonstanten \(G\) ohne die Nutzung astronomischer Daten zu bestimmen. Daraus konnte er die Masse und die Dichte der Erde berechnen.

Genaue Messungen des Ortsfaktors ergeben in Deutschland für die Städte Hamburg \({g_{{\rm{HH}}}}=9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\), Köln \({g_{\rm{K}}}=9{,}811426\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) und München \({g_{\rm{M}}}=9{,}807232\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\).

a)Berechne für die Stadt, die deinem Wohnort am nächsten ist, aus diesem Ortsfaktor die Masse und die Dichte der Erde.

b)CAVENDISH erhielt als Wert für die Dichte der Erde \({\rho _{{\rm{Erde}}}} = 5{,}48\,\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\).

Vergleiche den Wert von CAVENDISH mit dem von dir berechneten Wert.

Daten: \(G=6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\frac{\rm{N}\,\rm{m}^2}{\rm{kg}^2}\) ; \(r_{\rm{Erde}} = 6371{,}0\,\rm{km}\)

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a)Der Ortsfaktor z.B. \(g_{\rm{HH}} = 9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) bedeutet, dass ein Körper der Masse \(m\) in Hamburg eine Gewichtskraft von \[F_{\rm{G}}=m \cdot g_{{\rm{HH}}} \quad(1)\] erfährt.

Andererseits sollte sich diese Gewichtskraft nach dem Gravitationsgesetz durch\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}} \cdot m}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \quad(2)\]berechnen lassen.

Gleichsetzen der beiden rechten Seiten von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[m \cdot {g_{{\rm{HH}}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}} \cdot m}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Leftrightarrow {g_{{\rm{HH}}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Erde}}}} = \frac{{{g_{{\rm{HH}}}} \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^2}}{G}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m_{{\rm{Erde}}}} = \frac{{9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot {{\left( {6371{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{\rm{N}}{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 5{,}968 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}}\]Für die Dichte der Erde ergibt sich - nimmt man die Erde als Kugel mit dem Volumen \(V_{{\rm{Erde}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^3\) an - dann\[{\rho _{{\rm{Erde}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{V_{{\rm{Erde}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^3}} \Rightarrow {\rho _{{\rm{Erde}}}} = \frac{{5{,}968 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {{\left( {6371{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 5509\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} = 5{,}509\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}\]

b)Berechnet man die relative Abweichung des Wertes von CAVENDISH zum oben berechneten Wert, so ergibt sich\[p\%  = \frac{{5{,}51\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}} - 5{,}48\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}}}{{5{,}51\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}}} = 0{,}005 = 0{,}5\% \]Nicht schlecht, oder?

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld