Gravitationsgesetz und -feld

Der Ortsfaktor z.B. \(g_{\rm{HH}} = 9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) bedeutet, dass ein Körper der Masse \(m\) in Hamburg eine Gewichtskraft von \[F_{\rm{G}}=m \cdot g_{{\rm{HH}}} \quad(1)\] erfährt.

Andererseits sollte sich diese Gewichtskraft nach dem Gravitationsgesetz durch\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}} \cdot m}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \quad(2)\]berechnen lassen.

Gleichsetzen der beiden rechten Seiten von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[m \cdot {g_{{\rm{HH}}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}} \cdot m}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Leftrightarrow {g_{{\rm{HH}}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Erde}}}} = \frac{{{g_{{\rm{HH}}}} \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^2}}{G}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m_{{\rm{Erde}}}} = \frac{{9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot {{\left( {6371{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{\rm{N}}{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 5{,}968 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}}\]Für die Dichte der Erde ergibt sich - nimmt man die Erde als Kugel mit dem Volumen \(V_{{\rm{Erde}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^3\) an - dann\[{\rho _{{\rm{Erde}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{V_{{\rm{Erde}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^3}} \Rightarrow {\rho _{{\rm{Erde}}}} = \frac{{5{,}968 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {{\left( {6371{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 5509\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} = 5{,}509\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}\]

Berechnet man die relative Abweichung des Wertes von CAVENDISH zum oben berechneten Wert, so ergibt sich\[p\%  = \frac{{5{,}51\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}} - 5{,}48\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}}}{{5{,}51\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}}} = 0{,}005 = 0{,}5\% \]Nicht schlecht, oder?