Gravitationsgesetz und -feld

Wir bezeichnen die Masse von Jupiter mit \({{m_{\rm{J}}}}\) und die Masse von Europa mit \({{m_{\rm{E}}}}\). Bei der (Kreis-)Bewegung von Europa um den Jupiter wirkt die Gravitationskraft \({F_{{\rm{G}}}}\) als Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\). Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& {F_{\rm{G}}}\\{m_{\rm{E}}} \cdot {\omega ^2} \cdot {r_{\rm{E}}} &=& G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {m_{\rm{J}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}}\\{\omega ^2} &=& G \cdot \frac{{{m_{\rm{J}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^3}}\end{eqnarray}\]Löst man die Gleichung nach \(m_{{\rm{J}}}\) auf und setzt für \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T_{{\rm{J}}}}\) ein, so erhält man\[{m_{{\rm{J}}}} = \frac{{{r_{{\rm{E}}}}^3 \cdot {\omega ^2}}}{G} = \frac{{{r_{{\rm{E}}}}^3 \cdot {{\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{{T_{{\rm{E}}}}}}} \right)}^2}}}{G} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r_{{\rm{E}}}}^3}}{{G \cdot {T_{{\rm{E}}}}^2}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m_{{\rm{J}}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {670900 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg \cdot s^2}}}} \cdot {{\left( {306822\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 1{,}9 \cdot {10^{27}}\,{\rm{kg}}\]