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Aufgabe

Bestimmung der Jupitermasse

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Hast du dich schon einmal gefragt, wie Astrophysiker die Masse der Planeten unseres Sonnensystems bestimmen können? Wie man die Masse der Erde durch Ausmessen des Ortsfaktors \(g\) bestimmen kann haben wir in einer anderen Aufgabe bereits vorgestellt. Aber auf anderen Planeten konnten wir deren Ortsfaktor bis jetzt noch nicht bestimmen; also muss es andere Möglichkeiten geben.

Die Grundidee ist die, den Umlauf eines Satelliten wie z.B. eines Mondes um den Planeten zu beobachten und aus den gemessenen Daten die Masse des Planeten zu berechnen.

Bestimme aus der Umlaufzeit \(T_{\rm{E}}= 3\,\rm{d}\,13\,\rm{h}\,13\,\rm{min}\,42\,\rm{s}\) und dem mittleren Bahnradius \(r_{\rm{E}}= 670900\,\rm{km}\) des Jupitermondes Europa die Masse von Jupiter.

 

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Wir bezeichnen die Masse von Jupiter mit \({{m_{\rm{J}}}}\) und die Masse von Europa mit \({{m_{\rm{E}}}}\). Bei der (Kreis-)Bewegung von Europa um den Jupiter wirkt die Gravitationskraft \({F_{{\rm{G}}}}\) als Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\). Damit ergibt sich\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& {F_{\rm{G}}}\\{m_{\rm{E}}} \cdot {\omega ^2} \cdot {r_{\rm{E}}} &=& G \cdot \frac{{{m_{\rm{E}}} \cdot {m_{\rm{J}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}}\\{\omega ^2} &=& G \cdot \frac{{{m_{\rm{J}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^3}}\end{eqnarray}\]Löst man die Gleichung nach \(m_{{\rm{J}}}\) auf und setzt für \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T_{{\rm{J}}}}\) ein, so erhält man\[{m_{{\rm{J}}}} = \frac{{{r_{{\rm{E}}}}^3 \cdot {\omega ^2}}}{G} = \frac{{{r_{{\rm{E}}}}^3 \cdot {{\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{{T_{{\rm{E}}}}}}} \right)}^2}}}{G} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r_{{\rm{E}}}}^3}}{{G \cdot {T_{{\rm{E}}}}^2}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m_{{\rm{J}}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {670900 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg \cdot s^2}}}} \cdot {{\left( {306822\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 1{,}9 \cdot {10^{27}}\,{\rm{kg}}\]