Gleichförmige Bewegung

Mechanik

Gleichförmige Bewegung

  • Was versteht man unter einer 'gleichförmigen Bewegung'?
  • Wie definiert man eigentlich 'Geschwindigkeit'?
  • Wie misst man denn Geschwindigkeiten?
  • Vom Schneckentempo bis zur Lichtgeschwindigkeit

Geschwindigkeitsmessung

Geschwindigkeitsmessung beim Flugzeug (mit dem Staurohr)

Staurohr, Pitotrohr
Abb: 1 Staurohr, Pitotrohr zur Geschwindigkeitsmessung an einem Formel 1 Wagen
Ingolf Sauer
Die Geschwindigkeit von Flugzeugen kann man mit einem sogenannten Staurohr (Pitotrohr) messen.
Die auf das Staurohr zuströmende Luft bewirkt in der mittleren, mit dem Inneren der Druckdose verbundenen Röhre den Gesamtdruck. Mit Hilfe der blau gezeichneten Röhre, die mit dem luftdicht schließenden Gehäuse des Anzeigeinstruments verbunden ist, misst man den statischen Druck. Die Ausdehnung der Druckdose, welche zur Auslenkung des Zeigers führt, wird durch die Differenz aus Gesamtdruck und statischem Druck bewirkt. Dieser Differenzdruck ist von der Geschwindigkeit der anströmenden Luft abhängig und somit ein Maß für die Geschwindigkeit.

Staurohr Grafik
Abb. 2 schematische Darstellung eines Staurohrs

Geschwindigkeitsmessung mit dem Tachometer

Tachometer
Abb. 3 Tachometer eines PKW
Bei herkömmlichen Tachometern wird die Drehbewegung des Rades über eine sogenannte Tachometerwelle zur Drehung eines Magneten eingesetzt. Durch elektromagnetische Effekte, die an dieser Stelle noch nicht erklärt werden können, erreicht man einen Ausschlag der Tachometernadel.

Hinweis:
Modernere Tachometer messen die Geschwindigkeit auf elektronischem Wege.

Geschwindigkeitsmessung bei der Verkehrsüberwachung

Zur Überprüfung, ob Geschwindigkeitsbeschränkungen eingehalten werden, benutzt die Polizei häufig Radargeräte.

Dabei wird ein Radarsignal auf das fahrende Auto gesendet und das vom Auto reflektierte Signal analysiert. Je nachdem wie schnell das Auto fährt, verändert sich das reflektierte Signal in seiner Qualität, was einen Rückschluss auf die Geschwindigkeit zulässt.

4 Prinzipielle Funktionsweise eines Radarmessgerätes zur Geschwindigkeitsmessung. Dabei wird der sogenannte DOPPLER-Effekt bei Wellen ausgenutzt.

Erläuterung (gehört nicht zum Pflichtstoff):
Man kann sich Licht und auch ein Radarsignal - mit Einschränkungen - als Welle vorstellen. Treffen Wellenberge der ausgesandten Radarwelle (grüne Striche) auf das Auto, so werden diese reflektiert (blaue Striche). Die Geschwindigkeit der hin- und rücklaufenden Welle ist gleich. Aufgrund der Geschwindigkeit des Autos sind aber die Abstände zwischen den reflektierten Wellenbergen (blauer Doppelpfeil) kleiner als die Abstände zwischen den auftreffenden Wellenbergen (grüner Doppelpfeil). In der Animation wird beim Eintreffen eines "grünen" Wellenberges beim Auto ein akustisches Signal ausgelöst.

Geschwindigkeitsmessung bei Schiffen (historisch)

Handlog Geschwindigkeitsmessung Schiff
Abb. 5 Geschwindigkeitsmessung mittels Handlog
Früher wurde die Geschwindigkeit von Schiffen mit dem sogenannten Handlog gemessen:
Ein bleibeschwertes Brett wurde vom Schiffheck an einer Leine zu Wasser gelassen. Aufgrund des großen Reibungswiderstands blieb das Brett nahezu ortsfest im Wasser. Je schneller das Schiff fuhr, desto rascher wurde die Logleine von der Logrolle abgerollt. In Abständen von ca. 7,2 m befanden sich auf der Leine Knoten. Man legte nun fest, dass das Schiff die Geschwindigkeit 1 Knoten hat, wenn in 14s gerade die Strecke zwischen zwei Knoten abgerollt wurden.

Hinweis: Mit dem Fortschreiten der Technik ist man auf diese Art der Geschwindigkeitsmessung nicht mehr angewiesen. Heute verwendet man das Radar oder das GPS.

Handlog
Abb. 6 Handlog Geschwindigkeitsmesser

Geschwindigkeitsüberwachungsgeräte

Hinweis: Diese Informationen stammen im Wesentlichen von der Physikalisch-Technische Bundesanstalt

Zur amtlichen Verkehrsüberwachung dürfen in Deutschland nur geeichte Geschwindigkeitsmessgeräte eingesetzt werden. Voraussetzung für jede Eichung ist, dass die betreffende Bauart von der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt zur Eichung zugelassen ist. Bei den meisten der in Deutschland eingesetzten Geräten wird eines der im folgenden in stark vereinfachter Form erläuterten Messprinzipien angewendet.

Verkehrsradaranlagen

Vom Gerät ausgesendete Radarstrahlen werden vom Fahrzeug reflektiert, die Frequenz des reflektierten Strahls ist aufgrund des Dopplereffektes größer (wenn das Fahrzeug auf das Gerät zufährt) oder kleiner (wenn es vom Gerät wegfährt) als die des ausgesendeten. Das Gerät empfängt einen Teil der reflektierten Strahlung, misst die Differenz der beiden Frequenzen und berechnet daraus die Geschwindigkeit des Fahrzeugs

Lichtschrankenmessgeräte

Mehrere quer zur Fahrbahn ausgerichtete Lichtschranken sind hintereinander mit bekanntem Abstand aufgebaut. Das Fahrzeug liefert beim Unterbrechen jeder Lichtschranke ein elektrisches Signal, das Gerät misst die Zeitabstände zwischen den Signalen und berechnet unter Berücksichtigung des Abstandes die Fahrzeuggeschwindigkeit.

Geschwindigkeitsmessgeräte mit Piezosensoren

Mehrere als Koaxialkabel ausgeführte Piezosensoren sind hintereinander mit bekanntem Abstand in die Fahrbahn eingelassen. Das Fahrzeug liefert beim Überfahren jedes Sensors ein elektrisches Signal, das Gerät misst die Zeitabstände zwischen den Signalen und berechnet unter Berücksichtigung des Abstandes die Fahrzeuggeschwindigkeit.

Video-Verkehrsüberwachungsanlagen

Video-Verkehrsüberwachungsanlagen werden in Polizeifahrzeugen eingesetzt, die sich wie die betreffenden Fahrzeuge im fließenden Verkehr befinden. Zur Messung der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird manuell die Zeit gestoppt, die es für eine bestimmte Strecke benötigt. Die Länge der Strecke wird im voraus gemessen und ins Gerät eingegeben oder beim Nachfahren über den Ablauf der Räder des Polizeifahrzeugs ermittelt. Das Gerät berechnet dann automatisch die resultierende Durchschnittsgeschwindigkeit.

 

Fahrtenschreiber Tachograph

Seit 1953 ist der Tachograph in Deutschland für LKW und Busse mit mehr als 3,5 t Gesamtgewicht vorgeschrieben. Er dient zur Dokumentation der Fahr-Daten eines ganzen Tages. Zunächst wurden die mechanischen Fahrtenschreiber eingeführt, mit denen sich diese Seite vornehmlich beschäftigt. In den Jahren 2005-2007 sollen die mechanischen Tachographen durch elektronische Tachographen, welche die Signale in digitaler Form verarbeiten, ersetzt werden. Bei ihnen erhofft man sich, dass Manipulationen erschwert werden.

Mechanischer Fahrtenschreiber

Der mechanische Tachograph beschreibt eine kreisförmige Scheibe, die von einem Uhrwerk in 24 Stunden um 360° gedreht wird.

Mit Hilfe des (unmanipulierten) Tachographen kann geprüft werden, ob die Höchstgeschwindigkeit bei einem LKW (z.B. 80 km/h) eingehalten wurde. Auch die Überprüfung der vorgeschriebenen Ruhezeiten des Fahrers ist möglich.

  • Der äußere Rand der Scheibe ist mit Zahlen von 1 bis 24 beschriftet. Dies sind die Stundenmarken eines Tages.

  • Über der Scheibe befindet sich eine Schreibernadel, die sich vom Scheibenmittelpunkt um so weiter entfernt, je höher die Geschwindigkeit ist. Unter dieser Nadel dreht sich die Scheibe mit fortschreitender Zeit weiter. Auf diese Weise wird ein t-v-Diagramm geschrieben.

  • Auf inneren konzentrischen Ringen wird zusätzlich aufgezeichnet, wann das Auto fährt bzw. wann das Auto ruht. Auf diese Weise ist eine Überprüfung möglich, ob die Höchstfahrdauer eines Fahrers (dessen Daten in das Zentrum der Scheibe geschrieben werden müssen) eingehalten wird.

  • Auf dem innersten konzentrischen Ring wird die zurückgelegte Wegstrecke dokumentiert. Um Platz zu sparen kehrt die Schreibernadel immer dann ihre Richtung um, wenn 5 km zurückgelegt worden sind. Ist die Zick-Zack-Kurve "eng" bedeutet dies, dass das Fahrzeug schnell unterwegs ist.


Originaldatei via Wikimedia Commons, ergänzt um Beschriftungen

  1. Prüfe, ob der Fahrer die für das Fahrzeug zulässige Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h eingehalten hat.

  2. Der Fernfahrer Brummi-Schlau ist noch weit von seinem Bestimmungsort entfernt. Um diesen möglichst schnell zu erreichen, überschreitet er die zulässige Höchstgeschwindigkeit deutlich. Damit dies auf dem Fahrtenschreiber nicht dokumentiert wird, hindert er die Schreibernadel mechanisch mit einem Gummi daran den 80 km/h - Kreis zu überschreiten. Erläutere, ob und wenn ja wie ihn ein schlauer Polizist trotzdem anhand des ansonsten korrekten Fahrtenschreibers überführen könnte.

  3. Im Bild ist das Diagramm über den zurückgelegten Weg stark vergrößert herausgezeichnet. Berechne die Geschwindigkeit des LKW in km/h. Beachte die oben genannten Informationen zur Dokumentation der zurückgelegten Wegstrecke.

 

Elektronische Fahrtenschreiber

Mit den neuen elektronischen Fahrtenschreibern ist die Auswertung der Fahrtdaten durch eine geeignete Software wesentlich einfacher. Man glaubt auch, dass diese Fahrtenschreiber weniger manipulierbar sind.

Beispiele für Geschwindigkeiten

Wachstum eines Fingernagels \[0,000 000 001\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Schnecke \[0,002\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Fußgänger \[1,5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Sprinter \[10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Schnellzug \[80\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Flugzeug \[250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Schall in Luft \[340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Licht \[300 000 000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Zeit-Ort-Diagramme

Um die "Schnelligkeit" einer Bewegung zu charakterisieren, hat man den Begriff der Geschwindigkeit eingeführt. Bei der gleichförmigen Bewegung - die zunächst wiederholt wird - liegen die Verhältnisse besonders einfach.

Versuch

Ein batteriegetriebener Wagen läuft auf einer Schiene mit Maßstab. Beim Passieren der Nullmarke wird die Uhr eingeschaltet. Die graphische Auswertung der \(t-x-\)Tabelle wird dargestellt.

1 Verschiedene gleichförmige Bewegungen eines Wagens, die sich im Betrag und in der Richtung der Geschwindigkeit unterscheiden.

In allen drei Fällen ergeben sich im \(t-x-\)Diagramm Ursprungsgeraden. Bewegungen von diesem Typ bezeichnet man als geradlinige, gleichförmige Bewegung.

Fährt der Wagen in Richtung der positiven Ortsachse, so besitzt der entsprechende Zeit-Orts-Graph eine positive Steigung. Bei Fahrt in Richtung der negativen x-Achse besitzt der Zeit-Orts-Graph eine negative Steigung.

Je schneller der Wagen ist, desto steiler verläuft die zugehörige Ursprungsgerade.

2 Bestimmung der Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung mithilfe von Steigungsdreiecken, die im Ursprung des Koordinatensystems beginnen

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist der zurückgelegte Weg proportional zur Zeit. Es gilt \(x \sim t\) oder \(x/t=konstant\) (Quotientengleichheit). Man bezeichnet die Konstante als Geschwindigkeit \(v\) der gleichförmigen Bewegung und schreibt:\[v = \frac{x}{t}\;mit\;\left[ v \right] = 1\frac{m}{s}\]Das Zeit-Orts-Gesetz der gleichförmigen Bewegung mit Start im Ursprung lautet dann \[x(t) = v \cdot t\;(1)\]

Hinweise

  • \(x(t)\) soll ausdrücken, dass die Ortsangabe \(x\) von der Zeit abhängig ist.

  • Aus der Mathematik kennst du die Gleichung einer Ursprungsgeraden \(y(x) = m·x\). In der Beziehung (1) tritt an Stelle von \(y(x)\) der zeitabhängige Ort \(x(t)\); anstelle der Geradensteigung \(m\) (in der Mathematik) die Geschwindigkeit \(v\). Dem \(x\) in der Mathematik entspricht die Zeit \(t\) in der Bewegungsgleichung (1).

3 Bestimmung der Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung mithilfe von beliebigen Steigungsdreiecken, die nicht im Ursprung des Koordinatensystems beginnen

Oft drückt man die Geschwindigkeit \(v\) durch eine Wegdifferenz und eine Zeitdifferenz aus. Differenzen werden in der Physik durch den griechischen Buchstaben \(\Delta\) symbolisiert. Für \(v\) kann man dann auch schreiben\[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}\;(2)\]Auch das Steigungsdreieck kann vergrößert oder verschoben werden, der Wert des Quotienten \(v\) bleibt stets gleich.

4 Unterschied der Graphen zweier gleichförmiger Bewegungen mit gleicher Geschwindigkeit, aber unterschiedlichem Startort

Startet der Wagen nicht im Ursprung, sondern mit der gleichen Geschwindigkeit wie oben am Ort mit der Koordinate \(x_{0}\), so ergibt sich der nebenstehend skizzierte Zeit-Orts-Graph [Verschiebung des Graphen so, dass er im Punkt \((0\mid x_{0})\) beginnt]. Aufgrund der gleichbleibenden Geschwindigkeit bleibt die Steigung der Geraden erhalten.Das Zeit-Orts-Gesetz lautet dann\[x(t) = {x_0} + v \cdot t\;(3)\]

Hinweis

In der Mathematik hast du die Geradengleichung in der Form: \(y(x)=t+m\cdot x\) kennen gelernt. Dabei bedeutete \(t\) den \(y-\)Achsenabschnitt und \(m\) die Geradensteigung. An die Stelle des \(y\) in der Mathematik tritt in Gleichung (3) die zeitabhängige Ortskoordinate \(x(t)\). Dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) entspricht der "Anfangsort" \(x_{0}\) und der Geradensteigung \(m\) die Geschwindigkeit \(v\). Anstelle der Variablen \(x\) in der Mathematik tritt in Gleichung (3) die variable Zeit \(t\).

Druckversion