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Grundwissen

Charakterisierung der gleichförmigen Bewegung

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Zum Erfassen einer gleichförmigen Bewegung benötigt man (wie bei allen anderen Bewegungen auch) zum einen eine Uhr zur Zeitmessung und zum anderen einen geeigneten Maßstab zur Messung der zurückgelegten Strecke. Der Einfachheit halber legen wir den Maßstab so, dass sich der Körper zum Beginn der Bewegung im Nullpunkt befindet, also noch keine Strecke \(s\) zurückgelegt hat. Außerdem starten wir die Messung der Zeit \(t\) genau dann, wenn sich der Körper in Bewegung setzt.

In der untenstehenden Animation wird während der Bewegung alle \(0,5\rm{s}\) die zurückgelegte Strecke \(s\) gemessen und die sich ergebenden \((t|s)\)-Wertepaare in die sogenannte Zeit-Weg-Tabelle eingetragen.

Anschließend werden die \((t|s)\)-Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem mit der Zeit \(t\) auf der horizontalen Achse (Rechtsachse) und der zurückgelegte Strecke \(s\) auf der vertikalen Achse (Hochachse) eingetragen und durch eine passende Linie verbunden. So entsteht der sogenannte Zeit-Weg-Graph, der oft auch als Zeit-Weg-Diagramm bezeichnet wird.

Schließlich wird der zum Graphen gehörige Funktionsterm in Form der Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion angegeben.

Hinweis für Fortgeschrittene: Normalerweise wird auf dem Maßstab nicht die vom Körper seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\), sondern dessen momentaner Ort \(x\) gemessen. Da die hier dargestellte Bewegung aber nur in einer Richtung stattfindet und sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) am Ort \(x=0\rm{m}\) befindet, stimmen zurückgelegte Strecke und Ort überein.

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Abb. 1 Darstellung einer gleichförmigen Bewegung und deren Beschreibung durch t-s-Tabelle, t-s-Graph und t-s-Term

Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

  • In der Zeit-Weg-Tabelle sieht man, dass nach z.B. \(1{,}00\,\rm{s}\) eine Strecke von \(1{,}50\,\rm{m}\) zurückgelegt wurde, nach der doppelten Zeit von \(2{,}00\,\rm{s}\) die doppelte Strecke von \(3{,}00\,\rm{m}\), nach der dreifachen Zeit von \(3{,}00\,\rm{s}\) die dreifache Strecke von \(4{,}50\,\rm{m}\) und nach der vierfachen Zeit von \(4{,}00\,\rm{s}\) die vierfache Strecke von \(6{,}00\,\rm{m}\). Die zurückgelegte Strecke wächst also proportional zur verstrichenen Zeit an. Dies bedeutet aber auch, dass für alle \((t|s)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{s}{t}\) aus zurückgelegter Strecke \(s\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt (sogenannte Quotientengleichheit). Es ergibt sich in unserem Beispiel stets\[\frac{s}{t}=\frac{{1{,}50\,{\rm{m}}}}{{1{,}00\,{\rm{s}}}} = \frac{{3{,}00\,{\rm{m}}}}{{2{,}00\,{\rm{s}}}} = \frac{{4{,}50\,{\rm{m}}}}{{3{,}00\,{\rm{s}}}} = 1{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
  • Der Zeit-Weg-Graph verläuft auf einer Geraden, die durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
  • Die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion lautet \(s = 1{,}50\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\).

Alle diese Eigenschaften sind typisch für sogenannte Proportionale Funktionen, die du im Mathematikunterricht bereits kennengelernt haben solltest. Da sich diese Eigenschaften bei jeder gleichförmigen Bewegung - lediglich mit anderen Zahlenwerten - zeigen, können wir sie zur Charakterisierung der gleichförmigen Bewegung heranziehen:

Charakterisierung der gleichförmigen Bewegung

Ein Körper bewegt sich gleichförmig, wenn er sich auf einer geraden Linie bewegt und die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\) proportional zu der seit dem Start der Bewegung vergangenen Zeit \(t\) ist. Dies erkennt man unter anderem daran, dass

  • in der Zeit-Weg-Tabelle zur doppelten, dreifachen, ... Zeit die doppelte, dreifache, ... Strecke gehört und deshalb für alle \((t|s)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{s}{t}\) aus zurückgelegter Strecke \(s\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt
  • der Zeit-Weg-Graph auf einer Ursprungsgeraden liegt
  • die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion die Form \(s = v \cdot t\) hat.

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Charakterisierung der gleichförmigen Bewegung

Übungsaufgabe