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Aufgabe

Chancen beim Elfmeter

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Schuss eines Elfmeters

Der Sportreporter Bernd Eberwein schreibt:

"Einen Elfmeter zu halten, ist zu \(90\%\) Glückssache und zu \(10\%\) hängt es vom fehlenden Talent des Torschützen ab, das ist alles", sagt Frankreichs Nationaltorwart Fabien Barthez. Will heißen: Mit seiner Reaktion allein kann ein Torhüter wenig ausrichten. Rechnerisch betrachtet hat der Torwart nämlich überhaupt keine Chance.

Mit Geschwindigkeiten zwischen \(20\) und \(40\) Metern pro Sekunde rauscht der Ball auf den Torwart zu. Gehen wir einfach mal davon aus, dass dem Torwart \(0{,}25\) Sekunden Reaktionszeit bleiben, bis ihn das Leder erreicht. Das Leder, das ja auch nicht direkt zum Torwart fliegt, sondern irgendwo in den \(7{,}32\) Meter breiten und \(2{,}44\) Meter hohen Kasten. Wirft man das alles in den Zahlenmixer, müsste ein Torwart mit rund \(35\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) Richtung Toreck springen. Zum Vergleich: So schnell läuft in etwa ein \(100\)-Meter-Sprinter. Für einen Torwart - der zudem aus dem Stand abspringt - eine unerreichbare Marke.

In dem Text ist von einer "Reaktionszeit" von \(0{,}25\,\rm{s}\) die Rede. Tatsächlich setzt sich die Zeit bis der Torwart am Ball ist aus zwei Teilen zusammen, seiner Reaktionszeit und der Flugzeit des Torwarts zum Ball.

a)

Gehe davon aus, dass der Ball beim Elfmeter mit ca. \(30\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) geschossen wird.

Gib die Geschwindigkeit des Balls in der Maßeinheit in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) an.

b)

Der so flach geschossene Ball solle die Torlinie einen Meter entfernt vom Pfosten erreichen.

Schätze die Zeit ab, wie lange der Ball vom Elfmeterpunkt bis zur Torlinie unterwegs ist.

c)

Der Torwart habe eine Reaktionszeit von nur \(0{,}10\,\rm{s}\).

Berechne die Zeit, die dem Torwart dann noch bleibt, um mit der Hand an den Ball zu kommen.

d)

Schätze die Geschwindigkeit in der Maßeinheit \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) ab, mit welcher der Torwart sich zum Ball bewegen müsste.

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a)

\[v_{\rm{B}}=30\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 30 \cdot 3{,}6\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 110\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Diese Angabe ist auf zwei gültige Ziffern genau.

b)

Näherungsweise kann man davon ausgehen, dass die zurückgelegte Strecke des Balles \(11\,\rm{m}\) ist. Eine genauere Betrachtung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt\[s = \sqrt {{{\left( {11{,}0{\rm{m}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7{,}32{\rm{m}}}}{2} - 1{,}00{\rm{m}}} \right)}^2}}  = 11{,}3{\rm{m}}\]d.h. man kann wirklich näherungsweise von der Flugstrecke \(11\,\rm{m}\) ausgehen.

Berechnung der Zeit, die der Ball vom Elfmeterpunkt bis zur Torlinie unterwegs ist:\[s = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{s}{v} \Rightarrow t = \frac{{11\,{\rm{m}}}}{{30\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}37\,{\rm{s}}\]

c)

Dem Torwart bleiben \(0{,}37\,{\rm{s}} - 0{,}10\,{\rm{s}} = 0{,}27\,{\rm{s}}\) um an den Ball zu kommen.

d)

Es werde angenommen, dass die Hand des Torwarts zu Beginn seiner Bewegung etwa einen Meter von der Tormitte entfernt ist. Dann gilt für die zurückzulegende Strecke\[s = \frac{{7{,}32\,{\rm{m}}}}{2} - 1{,}00\,{\rm{m}} = 2{,}66\,{\rm{m}}\]Die Geschwindigkeit des Torwarts beim "Abtauchen" in die Ecke muss dann\[s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{2{,}66\,{\rm{m}}}}{{0{,}27\,{\rm{s}}}} = 9{,}9\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 9{,}9 \cdot 3{,}6\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 36\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]betragen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gleichförmige Bewegung