Hinweis: Aufgabe und Lösung stammen von Gerald Hell, Grafenau.
Ein Auto fährt zunächst mit einer konstanten Geschwindigkeit auf der Autobahn. Für die \(10\rm{km}\) lange Strecke von Hengersberg nach Deggendorf benötigt es \(5,0\rm{min}\).
a)
Berechne die Geschwindigkeit (in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\)), mit der das Auto fuhr.
b)
Für die Strecke von Deggendorf nach Bogen benötigt das Auto bei gleichbleibender Geschwindigkeit \(13,5\rm{min}\). Berechne die Entfernung von Deggendorf nach Bogen.
c)
Bis zur Raststätte "Bayerischer Wald" fährt das Auto mit der gleichen Geschwindigkeit noch \(3,0\rm{km}\). Berechne, wie lang das Auto bis zur Raststätte braucht.
An der Raststätte macht der Fahrer \(10\rm{min}\) Kaffeepause.
d)
Von der Raststätte bis nach Regensburg sind es noch \(50\rm{km}\) Hierfür bleiben dem Fahrer noch \(20\rm{min}\). Berechne, wie schnell der Fahrer von der Raststätte bis nach Regensburg gefahren ist.
e)
Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Strecke von Hengersberg bis Regensburg.
Das Auto fährt nun noch \(10\rm{km}\) im Stadtverkehr bis zum Parkplatz, so dass sich seine gesamte Durchschnittsgeschwindigkeit (Hengersberg-Parkplatz) auf \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) reduziert.
f)
Berechne, wie schnell der Fahrer in der Stadt im Mittel gefahren ist.
Berechnung der Geschwindigkeit:\[v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{10{\rm{km}}}}{{5,0{\rm{min}}}} = {2,0}\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}} = 120\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
b)
Berechnung der Strecke:\[s = v \cdot t \Rightarrow s = 120\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \cdot \frac{{13,5}}{{60}}{\rm{h}} = {27\rm{km}}\]
c)
Berechnung der Zeitdauer:\[s = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{s}{v} \Rightarrow t = \frac{{3,0{\rm{km}}}}{{2,0\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}}} = 1,5{\rm{min}}\]
d)
Berechnung der Geschwindigkeit:\[v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{50{\rm{km}}}}{{\frac{1}{3}{\rm{h}}}} = 150\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
Neue gesamte Stecke:\[ s'_{\rm{ges}} = 90 \rm{km} + 10 \rm{km} = 100 \rm{km} \]Neue Gesamtzeit:\[{t'_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{{s'}_{{\rm{ges}}}}}}{{v'}} \Rightarrow {t'_{ges}} = \frac{{100{\rm{km}}}}{{100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = 1,0{\rm{h}}\]Für die \(10\rm{km}\) hat er also \(10\rm{min}\) gebraucht. Somit gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit in der Stadt:\[\overline {{v_{{\rm{Stadt}}}}} = \frac{{10{\rm{km}}}}{{\frac{{10}}{{60}}{\rm{h}}}} = 60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]