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Aufgabe

Autofahrt Hengersberg-Regensburg

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Hinweis: Aufgabe und Lösung stammen von Gerald Hell, Grafenau.

Ein Auto fährt zunächst mit einer konstanten Geschwindigkeit auf der Autobahn. Für die \(10\rm{km}\) lange Strecke von Hengersberg nach Deggendorf benötigt es \(5,0\rm{min}\).

a)

Berechne die Geschwindigkeit (in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\)), mit der das Auto fuhr.

b)

Für die Strecke von Deggendorf nach Bogen benötigt das Auto bei gleichbleibender Geschwindigkeit \(13,5\rm{min}\). Berechne die Entfernung von Deggendorf nach Bogen.

c)

Bis zur Raststätte "Bayerischer Wald" fährt das Auto mit der gleichen Geschwindigkeit noch \(3,0\rm{km}\). Berechne, wie lang das Auto bis zur Raststätte braucht.

An der Raststätte macht der Fahrer \(10\rm{min}\) Kaffeepause.

d)

Von der Raststätte bis nach Regensburg sind es noch \(50\rm{km}\) Hierfür bleiben dem Fahrer noch \(20\rm{min}\). Berechne, wie schnell der Fahrer von der Raststätte bis nach Regensburg gefahren ist.

e)

Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Strecke von Hengersberg bis Regensburg.

Das Auto fährt nun noch \(10\rm{km}\) im Stadtverkehr bis zum Parkplatz, so dass sich seine gesamte Durchschnittsgeschwindigkeit (Hengersberg-Parkplatz) auf \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) reduziert.

f)

Berechne, wie schnell der Fahrer in der Stadt im Mittel gefahren ist.

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a)

Berechnung der Geschwindigkeit:\[v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{10{\rm{km}}}}{{5,0{\rm{min}}}} = {2,0}\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}} = 120\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

b)

Berechnung der Strecke:\[s = v \cdot t \Rightarrow s = 120\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \cdot \frac{{13,5}}{{60}}{\rm{h}} = {27\rm{km}}\]

c)

Berechnung der Zeitdauer:\[s = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{s}{v} \Rightarrow t = \frac{{3,0{\rm{km}}}}{{2,0\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}}} = 1,5{\rm{min}}\]

d)

Berechnung der Geschwindigkeit:\[v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{50{\rm{km}}}}{{\frac{1}{3}{\rm{h}}}} = 150\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

e)

Gesamte Fahrstrecke:\[ s_{\rm{ges}} = 10 \rm{km} + 27 \rm{km} + 3,0 \rm{km} + 50 \rm{km} = 90 \rm{km} \]Gesamte Zeit:\[ t_{\rm{ges}} = 5,0 \rm{min} + 13,5 \rm{min} + 1,5 \rm{min} + 10 \rm{min} + 20 \rm{min} = 50 \rm{min} \]Berechnung der mittleren Geschwindigkeit:\[\bar v = \frac{{{s_{{\rm{ges}}}}}}{{{t_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow \bar v = \frac{{90{\rm{km}}}}{{\frac{{50}}{{60}}{\rm{h}}}} = 108\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

f)

Neue gesamte Stecke:\[ s'_{\rm{ges}} = 90 \rm{km} + 10 \rm{km} = 100 \rm{km} \]Neue Gesamtzeit:\[{t'_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{{s'}_{{\rm{ges}}}}}}{{v'}} \Rightarrow {t'_{ges}} = \frac{{100{\rm{km}}}}{{100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = 1,0{\rm{h}}\]Für die \(10\rm{km}\) hat er also \(10\rm{min}\) gebraucht. Somit gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit in der Stadt:\[\overline {{v_{{\rm{Stadt}}}}}  = \frac{{10{\rm{km}}}}{{\frac{{10}}{{60}}{\rm{h}}}} = 60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gleichförmige Bewegung