Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf

Wurf nach unten

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Wurf nach unten

Gelegentlich kommt es vor, dass ein Körper mit einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \({v_{y0}}\) lotrecht nach unten geworfen wird. Diese Bewegung nennt man in der Physik einen "Wurf nach unten".

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines solchen "Wurf nach unten" dar. Auf der linken Seite sind die Bewegungsgleichungen für den Wurf nach unten und die dazugehörigen Diagramme für den Fall dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist. Häufig wird der Wurf nach unten mit einer nach unten orientierten Ortsachse (y-Achse) dargestellt. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen und Diagramme sind in der rechten Seite dargestellt.

Hinweis: Oft wird die Ortsachse als h-Achse (Höhenachse) bezeichnet. Im Prinzip ist man aber bei der Wahl der Achsenbezeichnung frei, in Anlehnung an die Mathematik haben wir die vertikale Achse als y-Achse (Hochwert-Achse) bezeichnet.

3 Nach unten geworfener Körper und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen in verschiedenen Koordinatensystemen

Bewegungsgesetze des "Wurfs nach unten"

Für den "Wurf nach unten", d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft mit einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

  Ortsachse nach oben orientiert Ortsachse nach unten orientiert
Zeit-Orts-Gesetz \[{y(t) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\] \[{y(t) = {v_{y0}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[{{v_y}(t) =  - {v_{y0}} - g \cdot t}\] \[{{v_y}(t) = {v_{y0}} + g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\] \[{{a_y}(t) = g}\]

 

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)

Zeige für die Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse, dass sich die Fallzeit (das ist die Zeitspanne vom Loswerfen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) ergibt.

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)

Aus der Kombination von Zeit-Orts-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Orts-Geschwindigkeits-Gesetz erhalten.

a)

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]
ergibt.

b)

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach unten orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot y\]
ergibt.

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