Wenn du die Animation in Abb. 1 startest, so wird ein Körper aus einer Anfangshöhe \(h\) mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) "senkrecht nach unten geworfen". Der Körper bewegt sich nach unten und trifft nach einiger Zeit auf dem Erdboden auf. Wir nennen diese Bewegung einen (senkrechten oder lotrechten) Wurf nach unten.
In der Animation kannst du dir folgende Informationen einblenden lassen:
- Eine Stroboskopaufnahme des Wurfs mit laufender Uhr, die beim Abwerfen des Körpers startet und beim Aufprall auf den Erdboden stoppt.
- Eine nach oben orientierte Ortsachse (\(y\)-Achse) mit dem Nullpunkt auf dem Erdboden direkt unterhalb der Abwurfstelle.
- Einige wichtige Größen des Wurfs wie die Anfangshöhe \(h\), die Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) und die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\). Beachte: Im gewählten Koordinatensystem ist \(v_{y,0}<0\).
- Das \(t\)-\(y\)-, das \(t\)-\(v_y\)- oder das \(t\)-\(a_y\)- Diagramm des Wurfs.
Bewegungsgesetze des Wurfs nach unten
Wir beschreiben den Wurf nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse (\(y\)-Achse) mit dem Nullpunkt auf dem Erdboden (vgl. Abb. 1). In diesem Koordinatensystem gilt:
- Die Anfangshöhe hat einen positiven Wert: \(h>0\).
- Die Anfangsgeschwindigkeit ist nach unten gerichtet und hat einen negativen Wert: \(v_{y,0} < 0\).
- Die Beschleunigung ist während des gesamten Wurfs nach unten gerichtet und hat den Wert \(a_y = -\,g\).
| Zeit-Ort-Gesetz | Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz | |
|---|---|---|
|
\(y\)-Richtung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit mit \(a_y = -\,g\) |
\[y(t) = - {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot t^2+v_{y,0}\cdot t + h \quad (1)\] Beachte: \(v_{y,0}<0\) |
\[v_y(t) = \frac{\;}{\;}\,g \cdot t + v_{y,0} \quad (2)\] Beachte: \(v_{y,0}<0\) |
Mit Hilfe der Bewegungsgesetze \((1)\) und \((2)\) kann man zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Ortskoordinate \(y\) und die Geschwindigkeit \(v_y\) des Körpers bestimmen.
Wurfzeit
Als Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) bezeichnen wir die Zeitspanne vom Abwurf des Körpers bis zum Auftreffen auf den Boden.
Nach der Wurfzeit, d.h. zu dem Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), an dem der Körper auf dem Boden auftrifft, ist seine Ortskoordinate \(0\). Es gilt deshalb\[y(t_{\rm{W}})=0 \quad(3^{**})\]Mit Gleichung \((1)\) ergibt sich daraus\[- {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot {t_{\rm{W}}}^2+v_{y,0} \cdot {t_{\rm{W}}} + h=0 \quad (3^*)\]Löst man Gleichung \((3^*)\) nach \(t_{\rm{W}}\) auf, so ergibt sich für die Wurfzeit\[t_{\rm{W}} = \frac{v_{y,0} + \sqrt {{v_{y,0}}^2 + 2 \cdot g \cdot h} }{g} \quad (3)\]Beachte: \(v_{y,0}<0\)
Berechnung der Wurfzeit
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=120{,}0\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y,0}=-10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
Herleitung des Ort-Geschwindigkeit-Gesetzes (höherer mathematischer Anspruch)
Aufgabe
Aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz \((1)\) und Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \((2)\) kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen dem Ort und der Geschwindigkeit, ein sogenanntes Ort-Geschwindigkeit-Gesetz erhalten.
Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten das folgende Ort-Geschwindigkeit-Gesetz ergibt:\[v_y^2 - v_{y,0}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {h - y} \right) \quad (4)\]Da beim Wurf nach unten \(v_y\) stets negativ ist, lässt sich aus Gleichung \((5)\) folgern\[v_y = - \sqrt {v_{y,0}^2 + 2 \cdot g \cdot \left( {h - y} \right)} \quad (4^*)\]
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=120{,}0\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y,0}=-10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Geschwindigkeit des Körpers beim Aufprall auf den Boden.