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Versuche

ATWOODsche Fallmaschine

Ziel des Versuchs

  • Bestimmung der Erdbeschleunigung \(g\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Aufbau der Atwoodschen Fallmaschine

Versuchsprinzip

Ziel der Fallmaschine von ATWOOD ist es, experimentell die Erdbeschleunigung \(g\) möglichst genau zu bestimmen. Dazu werden zwei gleich große Massen \(M\) verwendet, die mit einer über eine Rolle geführten Schnur verbunden sind. Diese Rolle selbst besitzt eine geringe Masse, die vernachlässigt wird und ist leicht sehr gut gelagert, so dass Reibungseffekte möglichst gering gehalten werden. Auf einer Seite wird zusätzlich eine kleines Massestück \(m\) angebracht. 

Auf der einen Seite wirkt daher die Kraft \(F_1\)\[ F_1 = M \cdot g \]und auf der anderen Seite die Kraft \(F_2\)\[ F_2 = \left( M + m \right) \cdot g\]

Die resultierende Kraft \(F_{\rm{res}}\) auf das Gesamtsystem ergibt sich aus der Differenz der beiden Kräfte, da sie das System nach "links" bzw. nach "rechts" beschleunigen wollen \[ F_{res} = F_2 - F_1 = m \cdot g \]Insgesamt wird von dieser Kraft \(F_{\rm{res}}\) die gesamte Masse des Sysmtes \(m_{\rm{ges}}=M + M + m\) beschleunigt (die Rolle und das Seil werden vernachlässigt). Somit gilt nach dem Kraftgesetz von Newton\[{F_{{\rm{res}}}} = {m_{{\rm{ges}}}} \cdot a\]\[\Leftrightarrow m \cdot g = \left( {2 \cdot M + m} \right) \cdot a\]\[\Leftrightarrow g = \frac{2 \cdot M + m}{m}\cdot a\quad(1)\]

Im Experiment muss also die Beschleunigung \(a\) des Gesamtsystems bestimmt werden, um den Ortsfaktor \(g\) zu ermitteln. Dazu wird das System aus der Ruhe heraus eine bekannte Strecke \(x\) beschleunigt und die dazu benötigte Zeit gemessen. Da hier eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt gilt das Zeit-Orts-Gesetz \(x=\frac{1}{2}a\cdot t^2\). Auflösen nach der Beschleunigung \(a\) ergibt\[a=\frac{2\cdot x}{t^2}\quad (2)\]Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) liefert einen Ausdruck um mit den gemessenen Größen aus dem Experiment die Fallbeschleunigung zu bestimmen:\[g = \frac{2 \cdot M + m}{m}\cdot\frac{2\cdot x}{t^2}\]

Vorteil des Versuchsaufbaus von ATWOOD

Durch den geschickten Versuchsaufbau läuft die experimentell zu beobachtende und zu messende Bewegung deutlich langsamer ab, als z.B. bei einem frei fallenden Körper. Dies ermöglicht auf einfache Art und Weise eine näherungsweise Bestimmung der Erdbeschleunigung.

Animation der ATWOODschen Fallmaschine

Die folgende Animation in Abb. 2, die man mit den Buttons stoppen und bildweise abfahren kann, wurde für eine Masse \(M=200\,\rm{g}\) und \(m=10\,\rm{g}\) und "massefreies" Rad erstellt.

Abb. 2 Aufbau, Funktionsweise und Beobachtungen bei einer ATWOODsche Fallmaschine.
Aufgabe
Aufgabe

Zeige mit den in der Animation in Abb. 2 gegebenen Daten, dass sich dabei für den Ortsfaktor ein Wert von etwa \(10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

Lösung

Die resultierende Kraft \(F_{res}\), die die Gesamtmasse \(m_{ges}=2\cdot M + m\) antreibt, muss gleich der Erdanziehungskraft auf die kleine Masse \(m\) sein, da sich die Erdanziehungskräfte auf die großen Massen gegenseitig aufheben. Die Anwendung des Kraftgesetzes von NEWTON ergibt dann \[{F_{{\rm{res}}}} = {m_{{\rm{ges}}}} \cdot a \Leftrightarrow m \cdot g = \left( {2 \cdot M + m} \right) \cdot a \Leftrightarrow g = \frac{{\left( {2 \cdot M + m} \right) \cdot a}}{m}\quad(1)\] Die Beschleunigung \(a\) wird der Animation entnommen. Da die Bewegung der Massen eine konstant beschleunigte Bewegung ist, gilt für \(x\) mit \( M = 0{,}200\,\rm{kg}\), \(m=0{,}010\,\rm{kg}\), \(t = 2{,}5\,\rm{s}\) und \(x = 0{,}75\,\rm{m} \) \[ x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \Leftrightarrow a = \frac{2 \cdot x}{t^2} \Rightarrow a = \frac{ 2 \cdot 0{,}75}{2{,}5^2} \rm{\frac{m}{s^2}} = 0{,}24\,\rm{\frac{m}{s^2}} \quad (2) \] Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so ergibt sich \[ g = \frac{ \left( 2 \cdot M + m \right) \cdot a}{m} \Rightarrow g = \frac{ \left( 2 \cdot 0{,}200+0{,}010 \right) \cdot 0{,}24 }{0{,}010} \rm{\frac{m}{s^2}} = 10\,\rm{\frac{m}{s^2}} \]

Abweichungen und systematische Fehler

Bei der oben beschriebenen Durchführung und in der Animation werden verschiedene Aspekte mit dem Ziel der Vereinfachung nicht berücksichtigt. Dies führt in der Praxis dazu, dass im Realversuch deutlich zu geringe Werte für die Erdbeschleunigung ermittelt werden.

Systematische Fehler sind dabei unter anderem:

  • Vernachlässigung der Masse der Rolle (Trägheitsmoment): Auch die Rolle muss beschleunigt werden. Dies benötigt Energie und bremst daher die Beschleunigung des Systems.
  • Vernachlässigung der Reibung in den Lagern der Rolle: Auch die Reibung reduziert die Beschleunigung des Systems.
  • Vernachlässigung der Luftreibung: Auch diese reduziert die Beschleunigung.

Im Realversuch spielen dabei meist die ersten beiden Punkte eine wichtige Rolle. Es sollte daher eine leichte, sehr gut gelagerte Rolle genutzt werden. Zusätzlich empfiehlt es sich die Reibungskräfte durch eine weitere klein Zusatzmasse auf der Seite mit der Zusatzmassse \(m\) auszugleichen.