Freier Fall - Senkrechter Wurf

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf

  • Warum nützt die Physik beim Basketball?
  • Was versteht man unter dem „Unabhängigkeitsprinzip“?
  • Wie berechnet man die Bahn von Kanonenkugeln?

Aufbau und Durchführung

Einfacher Versuchsaufbau zur Untersuchung des Freien Falls mit Digitalzähler
Abb.
1
Skizze und realer Versuchsaufbau zur Untersuchung des Freien Falls mit einem Digitalzähler

Notwendiges Material für den freien Fall mit Digitalzähler
Abb.
2
Material

Die leitende Metallkugel im Startkontakt schließt den grünen "Startstromkreis" für die auf eine tausendstel Sekunde genau gehende Uhr in Form eines Digitalzählers. Öffnest du nun die Kugelklemme, so fällt die Kugel nach unten. Dabei öffnet die Kugel den Stromkreis und startet die Uhr (der Invert-Knopf des Digitalzählers ist gedrückt). Nun fällt die Kugel frei nach unten und trifft auf den Auffangteller. Dieser wird nach unten gedrückt und schließt dabei den blauen "Stoppstromkreis". Die Uhr am Digitalzähler hält an und du kannst die Fallzeit \(t\) zur zugehörigen Fallhöhe \(h\) ablesen.

Erweiterungsmöglichkeit: Zusätzlich kann neben der Metallkugel auch eine mit Alufolie umwickelte Holzkugel genutzt werden, wenn der Einfluss der Luftreibung gezeigt werden soll.

Beobachtung

3 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Messung der Fallbeschleunigung mit dem Digitalzähler. Gleichzeitig ist es möglich, für verschiedene Fallstrecken die zugehörigen Fallzeiten abzulesen

Die Animation in Abb. 3 zeigt dir noch einmal schematisch den Aufbau und die Durchführung des Versuchs. Der Animation kannst du aber auch für verschiedene Fallhöhen die zugehörigen Fallzeiten entnehmen.

Aufgabe

Entnimm der Animation in Abb. 3 die in der Tabelle fehlenden Werte für die Fallzeit \(t\), die die Kugel für die Fallhöhe \(h\) benötigt.

\(t\text{ in s}\)            
\(h\text{ in m}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}35\) \(0{,}69\) \(0{,}85\) \(1{,}00\)
Lösung
\(t\text{ in s}\) \(0{,}00\) \(0{,}145\) \(0{,}265\) \(0{,}375\) \(0{,}415\) \(0{,}450\)
\(h\text{ in m}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}35\) \(0{,}69\) \(0{,}85\) \(1{,}00\)

Die Kugel startet zum Zeitpunkt \(t = 0\,\rm{s}\) aus der Höhe \(h = 0\,\rm{m}\).

Berechne jeweils die Erdbeschleunigung \(g\), die sich ergeben würde, wenn man nur eines der Wertepaare zur \(g\)-Bestimmung nutzen würde.

Begründe, warum wohl die \(g\)-Werte, die sich bei höheren Fallstrecken und damit auch höheren Fallzeiten ergeben, zuverlässiger sind, als diejenigen für kleine Fallstrecken und -zeiten.

Lösung

Bei gleichmäßiger Beschleunigung gilt \(h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow g = \frac{{2 \cdot h}}{{{t^2}}}\). Damit ergeben sich folgende Werte:

\(t\text{ in s}\) \(0{,}00\) \(0{,}145\) \(0{,}265\) \(0{,}375\) \(0{,}415\) \(0{,}450\)
\(h\text{ in m}\) \(0{,}00\) \(0{,}10\) \(0{,}35\) \(0{,}69\) \(0{,}85\) \(1{,}00\)
\(g\text{ in }\rm{\frac{m}{{{s^2}}}}\) - \(9{,}5\) \(10\) \(9{,}8\) \(9{,}9\) \(9{,}9\)

Bei den Werten mit größerer Fallhöhe ist der relative Fehler bei der Längenbestimmung kleiner.

Berechne den Mittelwert für die Fallbeschleunigung der sich aus den fünf Wertepaaren ergibt.

Lösung

Als Mittelwert ergäbe sich \(g = 9{,}8\,\rm{\frac{m}{{{s^2}}}}\) (mit zwei gültigen Ziffern), der Literaturwert für München ist \(g = 9{,}81\,\rm{\frac{m}{{{s^2}}}}\).

Versuch zur Bestimmung von g durch freien Fall mit Musterrechnung

Video mit der Durchführung des Realexperimentes und einer Musterrechnung

Die Fallmaschine von Atwood (Abb. 1) verwendet zwei gleich große Massen M, die mit einer über eine Rolle geführten Schnur verbunden sind. Diese Rolle ist sehr gut gelagert (Abb. 2), so dass Reibungseffekte möglichst gering gehalten werden.

In jedem Stück der Verbindungsschnur wirkt in die eine Richtung die Kraft

\[ F_1 = M \cdot g \]

und in die Gegenrichtung die Kraft

\[ F_2 = \left( M + m \right) \cdot g\; , \]

so dass die resultierende Kraft

\[ F_{Res} = F_2 - F_1 = m \cdot g \]

ist.

Insgesamt wird die Masse M + M + m (+ die Masse des Rades) beschleunigt.


Die Animation, die man mit den Buttons stoppen und bildweise abfahren kann, wurde für eine Masse M = 200 g und m = 10 g und "massefreies" Rad erstellt.


Abb. 1

Abb. 2 Fotos: Grinell-Museum, Iowa

3 Aufbau, Funktionsweise und Beobachtungen bei einer ATWOODsche Fallmaschine.

Zeige mit den oben gegebenen Daten, dass sich dabei für den Ortsfaktor ein Wert von etwa \(10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

Aufbau

Versuchsaufbau zum Freien Fall mit Lichtschranke, g-Leiter und Cassy
Abb.
1
Versuchsaufbau zum Freien Fall mit Lichtschranke, g-Leiter und Cassy

Eine Lichtschranke wird mithilfe von Stativmaterial so aufgebaut, dass eine g-Leiter (siehe Abb. 1) durch sie hindurch Fallen kann. Anschließend wird die Lichtschranke an einen Computer mit Messwerterfassungssystem wie bspw. Cassy angeschlossen.

Hinweis: Wenn du keine g-Leiter hast, kannst du dir auch einfach diese "Zebrastreifenvorlage" auf eine Folie ausdrucken. Stecke die "Zebrafolie" dann eine Klarsichtshülle, in der du zusätzlich zwei Euro-Münzen o.ä. in die unteren Ecken befestigst. Beim Fallenlassen der Folie wird dadurch der Einfluss des Luftwiderstands deutlich reduziert. Die Folie kommt durch die zusätzliche Masse während des Falls durch die Lichtschranke nicht ins Trudeln und fällt geradlinig durch.

Durchführung

Im Messwerterfassungssystem wird nun als Trigger zum Start der Messung das erste Signal der Lichtschranke eingestellt. Als Messgröße wird der Weg \(s\) gewählt, den das Programm automatisch aus den von der Lichtschranke erhaltenen Impulsen bestimmt. Dies ist nur bei bekanntem Gitterraster möglich. Standmäßig beträgt der Abstand zwischen zwei Segen der g-Leiter bzw. der Zebrastreifenfolie \(1\,\rm{cm}\). In Cassy kann auch ein vorgefertigtes Beispiel geladen werden.

Nun wird das Messsystem aktiviert und die g-Leiter durch die Lichtschranke fallen lassen. Die aufgenommenen Messwerte werden von Programm meist direkt auch in Form eines Graphen dargestellt.

Beobachtung

2 Aufbau, Durchführung und Beobachtungen des Versuchs zur Untersuchung des freien Falls mit Hilfe einer Zebrafolie und einer Lichtschranke

Auswertung durch Fit einer Parabel

Bei diesem Versuch sind verschiedene Arten der Auswertung möglich. Besonders schnell und komfortabel ist dabei das Anfitten einer Parabel an die Messwerte. Ein entsprechendes Werkzeug ist in Messwerterfassungssystemen in der Regel integriert.

Auswertung des Versuchs zum freien Fall mit g-Leiter
Abb.
3
Auswertung des Versuchs zum freien Fall mit g-Leiter

Zur Bestimmung über das Zeit-Weg-Diagramm muss eine Parabel an den Graphen angefittet werden, da für den freien Fall mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) gilt\[s(t)=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot t\qquad (1)\]

Das Messwerterfassungsprogramm liefert nun nach dem automatischen Anfitten einer allgemeinen Parabel der Form \(y=A\cdot x^2+B\cdot x+C\) jeweils einen Wert für \(A, B,C\).

Der Faktor \(A\) ist dabei ein Maß für die Fallbeschleunigung, der Faktor \(B\) ein Maß für die Anfangsgeschwindigkeit, die uns hier jedoch nicht interessiert und Faktor \(C\) ein Maß für den Anfangsort, der bei uns jedoch \(C=0\) ist.

Die Fallbeschleunigung \(g\) lässt sich nun mithilfe von Gleichung \((1)\) und dem Faktor \(A\) bestimmen. Es ist \[\frac{1}{2}\cdot g=A\Leftrightarrow g=2\cdot A\]\[\Rightarrow g=2\cdot 4{,}85\,\rm{\frac{m}{s^2}}=9{,}70\,\rm{\frac{m}{s^2}}\]

Bestimmung von \(g\) über den Geschwindigkeitsverlauf

Auswertung zum freien Fall mittels g-Leiter über die Geschwindigkeit
Abb.
4
Auswertung über die Zunahme der Geschwindigkeit \(v\)

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Fallbeschleunigung geht von der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit aus, die du durch die Näherung \( v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \) erhälst. Bei der g-Leiter und der Zebrafolie ist hier \( \Delta x = 1 \rm{cm} \). Messwerterfassungssysteme können die entsprechenden Berechnungen in der Regel selbst automatisiert durchführen und das Ergebnis darstellen.

Der entsprechende Graph ist eine Gerade, die beschrieben wird durch \[v(t)=g\cdot t + v_0\qquad (2)\].

Entsprechend fittest du hier nun eine Ausgleichsgerade der Form \(y=A\cdot x+ B\) an die Messwerte. Du erhältst wieder jeweils einen Wert für \(A\) und \(B\).

Die Fallbeschleunigung \(g\) kannst du nun mithilfe der Gleichung \((2)\) und dem Faktor \(A\) aus dem Fit bestimmen. Es ist\[g=A\Rightarrow g=9{,}7\,\rm{\frac{m}{s^2}}\]

Weitere Auswertemethoden

Natürlich kann der entsprechende Auswertevorgang auch nur mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms durchgeführt werden. Auch eine Bestimmung der jeweiligen Momentanbeschleunigung \(a\) analog zur Bestimmung der Momentangeschwindigkeit \(v\) ist möglich. Hier musst du dann den Mittelwert bestimmen. Dieser entspricht der Fallbeschleunigung \(g\).

Ausgangshöhe:m
Masse:kg
Fallbeschleunigung:m/s²
©  W. Fendt 2000
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation des freien Falls

Diese Simulation demonstriert einen freien Fall. Mit Hilfe der Eingabefelder lassen sich Ausgangshöhe, Masse und Fallbeschleunigung in gewissen Grenzen variieren ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Im unteren Teil der Schaltfläche kann man eine von fünf Größen auswählen, um nähere Angaben darüber zu erhalten.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt den Ball in die Ausgangsposition. Mit dem anderen Button kann man die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so erfolgt die Bewegung verlangsamt, und zwar um den Faktor 10.

Der Einfluss des Luftwiderstands wird vernachlässigt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

zum Video der Uni Würzburg

Ein Bleizylinder und eine Feder hängen an der Decke eines

  • evakuierten Gefäßes

  • luftgefüllten Gefäßes

Bleizylinder und Feder starten gleichzeitig zu einem freien Fall.

Aufgabe

Nebenstehend sind vier Einzelbilder des eigentlichen freien Falls aus dem Videofilm herauskopiert und mit \(\rm{cm}\)-Maßstab und Zeiten versehen.

Bestimme für die Oberkante des Metallzylinders eine \(t\)-\(x\)-Tabelle und bestimme daraus die Beschleunigung.

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0,00\) \(0,08\) \(0,16\) \(0,24\)
\(x\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0,00\)      
Lösung
\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0,00\) \(0,08\) \(0,16\) \(0,24\)
\(x\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0,00\) \(0,03\) \(0,115\) \(0,28\)

\[{x = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow g = \frac{{2 \cdot x}}{{{t^2}}} \Rightarrow g = \frac{{2 \cdot 0,03{\rm{m}}}}{{{{\left( {0,08{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 9,4\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]

\[{x = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow g = \frac{{2 \cdot x}}{{{t^2}}} \Rightarrow g = \frac{{2 \cdot 0,115{\rm{m}}}}{{{{\left( {0,16{\rm{s}}} \right)}^2}}} =9,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]

\[{x = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow g = \frac{{2 \cdot x}}{{{t^2}}} \Rightarrow g = \frac{{2 \cdot 0,28{\rm{m}}}}{{{{\left( {0,24{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 9,7\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\]

Ausgangshöhe:m
Anfangsgeschwindigkeit:m/s
Masse:kg
Fallbeschleunigung:m/s²
©  W. Fendt 2000
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation des senkrechten Wurfs

Diese Simulation demonstriert einen senkrechten Wurf. Mit Hilfe der Eingabefelder lassen sich Ausgangshöhe, Anfangsgeschwindigkeit, Masse und Fallbeschleunigung in gewissen Grenzen variieren ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Im unteren Teil der Schaltfläche kann man eine von fünf Größen auswählen, um nähere Angaben darüber zu erhalten.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt den Ball in die Ausgangsposition. Mit dem anderen Button kann man die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so erfolgt die Bewegung verlangsamt, und zwar um den Faktor 10.

Der Einfluss des Luftwiderstands wird vernachlässigt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

1 Sprung eines Astronauten auf dem Mond. Eingeblendet sind eine Zeitangabe und ein Maßstab. Die Einzelbilder wurden in einem Abstand von einer achtel Sekunde (\(0{,}125\,\rm{s}\)) aufgenommen, der Ortsmaßstab ist insgesamt \(2,\rm{m}\) lang.

Um das obige Video auszuwerten, muss man die Einzelbilder des Videos ausmessen. Im rechts stehenden Ausschnitt wurden nur die Einzelbilder des Sprungs herausgeschnitten und mit einem Maßstab versehen.

  • Die Einzelbilder dieses Videofilms sind in einem Zeitabstand von einer achtel Sekunde (\(0,125\rm{s}\)) aufgenommen.

  • Der Ortsmaßstab ist insgesamt \(2\rm{m}\) lang, jeder Teilstrich ist \(10\rm{cm}\) lang.

  • Verwende als Ortsmarkierung z.B. die Unterkante des Rucksacks

Bestimme aus dem Video und den obigen Angaben die Schwerebeschleunigung auf dem Mond.

zum Tabellenblatt

Die folgenden Versuche könne mit einfachen Mitteln zu Hause oder in der Schule als Gruppenarbeit durchgeführt werden.

Heimversuche freie Fall fallende Gewichte
Abb.
1
Nur wenn die Gewichte frei fallen, lässt sich das Papier herausziehen.

Hinweis: Idee, Fotos und Messwerte für diesen Artikel stammen von Josef Fertsch, Gymnasium Sulzbach Rosenberg

Aufbau und Durchführung

Befestige den Papierbogen am besten der Breite nach an einer Tischkanten mit Tesa.

Stelle die Kamera auf Nachtszene / keinen Blitz ein.

Bitte einen Helfer, im passenden Moment die Kugel fallen zu lassen.

Beobachtung

An den stroboskopischen Aufnahmen mit \(\Delta t = 10{\rm{ms}}\) bzw. \(\Delta t = 25{\rm{ms}}\) ist neben der beschleunigten Fallbewegung der Parabelbogen interessant, den die Kugel nach dem Auftreffen am Boden beim Zurückspringen beschreibt.

Auswertung

Schneide mit Hilfe einer Fotobearbeitungssoftware den Bereich des freien Falls aus.

Bei der Auswertung mit VIVITAB ist es vorteilhaft, das Bild um 90° zu drehen. Dann lassen sich die Reflexe genauer markieren, da horizontal mehr Raum zur Verfügung steht. Dabei genügt das Stroboskopbild mit der längeren Taktzeit \(\Delta t\).

Bei kürzerer Taktzeit \(\Delta t\) ergibt sich auch kein besserer Näherungswert für die Fallbeschleunigung. Die Auswertung dauert aber erheblich länger.

Die Aufnahme mit der kürzeren Taktzeit zeigt aber einen schönen Parabelbogen einer wieder hochspringenden Kugel. Sehr schön zu erkennen ist, dass der aufsteigende Ast gleich dem abfallenden Ast ist.

Die Fallbeschleunigung kann sowohl aus dem \(t\)-\(s\)-Diagramm als auch aus dem \(t\)-\(v\)-Diagramm ermittelt werden.

Aus dem \(t\)-\(s\)-Diagramm erhält man durch quadratische Regression (VIVITAB-Befehl s=quadreg(t.s)) als Ergebnis [4,93*t²+0,718*t+9,23E-6], d.h.\[g = 2 \cdot 4,93\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 9,86\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Aus dem \(t\)-\(v\)-Diagramm erhält man durch lineare Regression (VIVITAB-Befehl s=linreg(t.v_mit)) als Ergebnis [9,90283*t+0,589374; r=0,999], d.h.\[g = 9,9\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Aufbau und Durchführung

zum Video

An der Universität Würzburg wurde ein kleines Video aufgenommen, das den freien Fall eines Bleizylinders und einer Feder vergleicht. Dabei erfolgt der Fall einmal in Luft und einmal im Vakuum.

Der Bleizylinder und eine Feder hängen an der Decke eines Gefäßes und starten gleichzeitig zu einem freien Fall. Das linke Gefäß ist evakuiert, im rechten herrscht normaler Luftdruck. 

Beobachtung

In Luft fällt der schwerere Körper schneller (wie von Aristoteles behauptet).

Im Vakuum fallen beide Körper gleich schnell (wie von Galilei behauptet).

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video vergleicht Karlheinz Meier den Freien Fall einer Blei- mit einer Papierkugel und stellt den Aufbau der Fallschnur von Galileo GALILEI vor.

zum Video

Das Ziel des Versuchs

Mit deinem Smartphone kannst du im Unterricht oder zu Hause die Fallbeschleunigung bestimmen. Die App auf deinem Smartphone bestimmt dabei die Zeitspanne \(t\), die ein Körper für den Fall aus einer bestimmten Höhe \(h\) benötigt. Hieraus lässt sich dann die Fallbeschleunigung \(g\) berechnen.

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung des freien Falls mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum freien Fall verstehen zu können solltest du ...

  • ... das Zeit-Weg-Gesetz \(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\) einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung kennen.
  • ... dieses Zeit-Weg-Gesetz nach der Beschleunigung \(a\) umstellen können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox

Für die einfache Version

  • Kugel (möglichst aus Metall)
  • Lineal und Stift (beide möglichst aus Metall)

Für die anspruchsvollere Version

  • Massestück mit Haken (möglichst aus Metall)
  • mehrere Luftballons mit passender Halterung und eine Nadel
  • eine Metallplatte

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor.

Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Die "Akustische Stoppuhr" von phyphox startet und stoppt den Timer des Smartphones, wenn über das eigebaute Mikrofon Geräusche empfangen werden, die lauter als eine zuvor eingestellte Schwelle sind. Damit ein etwas längeres Geräusch den Timer nicht direkt nach dem Start wieder stoppt, kann man ein Mindestverzögerung angeben. Während dieser Zeit nach dem Start wird ein zweites Geräusch nicht als Stoppsignal gedeutet. Im Reiter "EINFACH" kannst du diese Einstellungen vornehmen und die gemessene Zeitspanne zwischen den beiden Geräuschen ablesen.

Hilfen zur Durchführung

Die Messung wird um so genauer, je größer die Höhe ist, aus der die Kugel fällt.

Wenn du das Smartphone auf der halben Fallhöhe platzierst, hebt sich der Einfluss der Schallgeschwindigkeit aus der Messung heraus.

Aufgabe

Bestimmung der Fallbeschleunigung

Miss die Höhe \(h\), aus der die Kugel fallen gelassen wird und mit phyphox die Fallzeit \(t\), die die Kugel vom Start der Bewegung bis zum Aufprall auf dem Boden benötigt.

Bestimme mit diesen Daten einen Wert für die Fallbeschleunigung \(g\).

Lösung

Sebastian hat bei der Vorstellung der einfachen Version des Experiments die Kugel aus \(92\,\rm{cm}\) Höhe fallen lassen und dabei eine Fallzeit von \(0{,}434\,\rm{s}\) gemessen.

Aus dem Zeit-Weg-Gesetz \(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\) mit \(s=h\) und \(a=g\) erhält man durch Umstellen\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow g = \frac{{2 \cdot h}}{{{t^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte \(h=92\,\rm{cm}=0{,}92\,\rm{m}\) und \(t=0{,}434\,\rm{s}\) ergibt \[g = \frac{{2 \cdot 0{,}92\,{\rm{m}}}}{{{{\left( {0{,}434\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]Dabei muss das Ergebnis auf zwei gültige Ziffern gerundet werden, da die ungenaueste Angabe (\(92\,\rm{cm}\)) nur zwei gültige Ziffern besitzt.

 

Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

Das Ziel des Versuchs

Mit deinem Smartphone kannst du im Unterricht oder zu Hause die Fallbeschleunigung bestimmen. Die App auf deinem Smartphone bestimmt dabei die Zeitspanne \(t\), die ein Körper für den Fall aus einer bestimmten Höhe \(h\) benötigt. Hieraus lässt sich dann die Fallbeschleunigung \(g\) berechnen.

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung des freien Falls mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum freien Fall verstehen zu können solltest du ...

  • ... das Zeit-Weg-Gesetz \(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\) einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung kennen.
  • ... Wertetabellen bzw. Graphen zu Funktionen mit \(y=x^2\) linearisieren können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox

Für die einfache Version

  • Kugel (möglichst aus Metall)
  • Lineal und Stift (beide möglichst aus Metall)

Für die anspruchsvollere Version

  • Massestück mit Haken (möglichst aus Metall)
  • mehrere Luftballons mit passender Halterung und eine Nadel
  • eine Metallplatte

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor.

Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Die "Akustische Stoppuhr" von phyphox startet und stoppt den Timer des Smartphones, wenn über das eigebaute Mikrofon Geräusche empfangen werden, die lauter als eine zuvor eingestellte Schwelle sind. Damit ein etwas längeres Geräusch den Timer nicht direkt nach dem Start wieder stoppt, kann man ein Mindestverzögerung angeben. Während dieser Zeit nach dem Start wird ein zweites Geräusch nicht als Stoppsignal gedeutet. Im Reiter "EINFACH" kannst du diese Einstellungen vornehmen und die gemessene Zeitspanne zwischen den beiden Geräuschen ablesen.

Hilfen zur Durchführung

Die Messung wird um so genauer, je größer die Höhe ist, aus der die Kugel fällt.

Wenn du das Smartphone auf der halben Fallhöhe platzierst, hebt sich der Einfluss der Schallgeschwindigkeit aus der Messung heraus.

Aufgabe

Bestimmung der Fallbeschleunigung

Verändere die Höhe \(h\), aus der die Kugel fallen gelassen wird und miss jeweils mit phyphox die Fallzeit \(t\), die die Kugel vom Start der Bewegung bis zum Aufprall auf dem Boden benötigt.

Halte die verschiedenen Werte von \(h\) und \(t\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(t\)-\(h\)-Diagramm auf.

Linearisiere das \(t\)-\(h\)-Diagramm und bestimme mit diesem linearisierten Diagramm einen Wert für die Fallbeschleunigung \(g\).

Lösung

Freier_Fall_phyphox_t-h-Diagramm
Abb.
2
\(t\)-\(h\)-Diagramm

Sebastian hat bei der Vorstellung der anspruchsvolleren Version des Experiments folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm erhalten.

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0{,}382\) \(0{,}434\) \(0{,}488\) \(0{,}539\) \(0{,}586\) \(0{,}629\) \(0{,}660\) \(0{,}702\)
\(h\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}70\) \(0{,}95\) \(1{,}20\) \(1{,}45\) \(1{,}70\) \(1{,}95\) \(2{,}20\) \(2{,}45\)
 

Freier_Fall_phyphox_t^2-h-Diagramm
Abb.
3
\(t^2\)-\(h\)-Diagramm

Der Graph lässt sich entsprechend dem Zusammenhang \(h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\) linearisieren, indem man auf der horizontalen Achse statt der Größe \(t\) die Größe \(t^2 \) aufträgt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0{,}382\) \(0{,}434\) \(0{,}488\) \(0{,}539\) \(0{,}586\) \(0{,}629\) \(0{,}660\) \(0{,}702\)
\(t^2\;{\rm{in}}\;{\rm{s^2}}\) \(0{,}146\) \(0{,}188\) \(0{,}238\) \(0{,}291\) \(0,{,}343\) \(0,{,}396\) \(0{,}436\) \(0,{,}493\)
\(h\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}70\) \(0{,}95\) \(1{,}20\) \(1{,}45\) \(1{,}70\) \(1{,}95\) \(2{,}20\) \(2{,}45\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 4,98\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\); damit beträgt die Fallbeschleunigung wegen \(h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\)\[g = 2 \cdot k = 2 \cdot 4,98\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 9,96\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]Die möglichen Ursachen für die Abweichung vom Literaturwert erläutert Sebastian im Video.

 

Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

Das Ziel des Versuchs

Mit deinem Smartphone kannst du im Unterricht oder zu Hause den freien Fall untersuchen und die Fallbeschleunigung bestimmen. Die App auf deinem Smartphone bestimmt dabei die Zeitspanne \(t\), die ein Körper für den Fall aus einer bestimmten Höhe \(h\) benötigt. Hieraus lässt sich dann die Fallbeschleunigung \(g\) berechnen.

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung des freien Falls mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum freien Fall verstehen zu können solltest du ...

  • ... Messwerte doppelt-logarithmisch auftragen und die entstehenden Graphen auswerten können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox

Für die einfache Version

  • Kugel (möglichst aus Metall)
  • Lineal und Stift (beide möglichst aus Metall)

Für die anspruchsvollere Version

  • Massestück mit Haken (möglichst aus Metall)
  • mehrere Luftballons mit passender Halterung und eine Nadel
  • eine Metallplatte

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor.

Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Die "Akustische Stoppuhr" von phyphox startet und stoppt den Timer des Smartphones, wenn über das eigebaute Mikrofon Geräusche empfangen werden, die lauter als eine zuvor eingestellte Schwelle sind. Damit ein etwas längeres Geräusch den Timer nicht direkt nach dem Start wieder stoppt, kann man ein Mindestverzögerung angeben. Während dieser Zeit nach dem Start wird ein zweites Geräusch nicht als Stoppsignal gedeutet. Im Reiter "EINFACH" kannst du diese Einstellungen vornehmen und die gemessene Zeitspanne zwischen den beiden Geräuschen ablesen.

Hilfen zur Durchführung

Die Messung wird um so genauer, je größer die Höhe ist, aus der die Kugel fällt.

Wenn du das Smartphone auf der halben Fallhöhe platzierst, hebt sich der Einfluss der Schallgeschwindigkeit aus der Messung heraus.

Aufgabe

Bestimmung des Zeit-Weg-Gesetzes des freien Falls und der Fallbeschleunigung

Verändere die Höhe \(h\), aus der die Kugel fallen gelassen wird und miss jeweils mit phyphox die Fallzeit \(t\), die die Kugel vom Start der Bewegung bis zum Aufprall auf dem Boden benötigt.

Halte die verschiedenen Werte von \(h\) und \(t\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(t\)-\(h\)-Diagramm auf.

Wir wollen nun annehmen, dass die Wertepaare auf dem Graphen einer Potenzfunktion liegen. Trage die Werte von \(t\) und \(h\) doppelt-logarithmisch auf, bestimme den Exponenten dieser Potenzfunktion und gib den Zusammenhang zwischen \(t\) und \(h\), d.h. das Zeit-Weg-Gesetz des freien Falls  an.

Bestimme hieraus schließlich einen Wert für die Fallbeschleunigung \(g\).

Lösung

Freier_Fall_phyphox_t-h-Diagramm
Abb.
2
\(t\)-\(h\)-Diagramm
Sebastian hat bei der Vorstellung der anspruchsvolleren Version des Experiments folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm erhalten.

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(0{,}382\) \(0{,}434\) \(0{,}488\) \(0{,}539\) \(0{,}586\) \(0{,}629\) \(0{,}660\) \(0{,}702\)
\(h\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}70\) \(0{,}95\) \(1{,}20\) \(1{,}45\) \(1{,}70\) \(1{,}95\) \(2{,}20\) \(2{,}45\)
 

freier_fall_phyphox_ln_t-ln_h-diagramm.svg
Abb.
2
\(\ln \left( {t{\rm{/s}}} \right)\)-\(\ln \left( {h{\rm{/m}}} \right)\)-Diagramm

Die Wertepaare könnten auf dem Graphen einer Funktion mit \(h \sim {t^\alpha }\) bzw.  \(h = k \cdot {t^\alpha }\) und \(1 < \alpha\) liegen. Unter dieser Annahme kann man den Exponenten \(\alpha \) und den Proportionalitätsfaktor \(k\) bestimmen, indem man die Messwerte doppelt-logarithmisch aufträgt und die Steigung sowie den Ordinatenabschnitt der entstehenden Geraden bestimmt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(\ln \left( {t/{\rm{s}}} \right)\) \(-0{,}962\) \(-0{,}835\) \(-0{,}717\) \(-0{,}618\) \(-0{,}534\) \(-0{,}464\) \(-0{,}416\) \(-0{,}354\)
\(\ln \left( {h/{\rm{m}}} \right)\) \(-0{,}357\) \(-0{,}051\) \(0{,}182\) \(0{,}372\) \(0{,}531\) \(0{,}668\) \(0{,}788\) \(0{,}896\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit der Steigung \(\alpha=2{,}03\) und dem Ordinatenabschnitt \(\beta = 1{,}62\) und damit \(k = {e^\beta }\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 5,05\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\); der Zusammenhang zwischen \(t\) und \(h\) ist damit mit großer Genauigkeit \(h = 5,05\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {t^2}\).

Damit beträgt die Fallbeschleunigung wegen \(h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\)\[g = 2 \cdot k = 2 \cdot 5,05\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 10,1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]Die möglichen Ursachen für die Abweichung vom Literaturwert erläutert Sebastian im Video.

 

Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

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