Freier Fall - Senkrechter Wurf

Die Fallzeit \(t_{\rm{F}}\) erhält man durch die Bedingung, dass beim Auftreffen auf den Boden gilt \( y(t_{\rm{F}}) = 0 \). Somit ergibt sich aus dem Zeit-Ort-Gesetz\[y({t_{\rm{F}}}) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot {t_{\rm{F}}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2\]Diese Quadratische Gleichung für die Variable \(t_{\rm{F}}\) hat die beiden Lösungen\[{t_{{\rm{F;1,2}}}} = \frac{{ - {v_{y0}} \pm \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\]von denen nur die Lösung \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) mit dem positiven Vorzeichen vor der Wurzel in Betracht kommt, da die andere Lösung stets negativ ist.

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} =  - {v_{y0}} - g \cdot t \Leftrightarrow t =  - \frac{{{v_y} + {v_{y0}}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {y_0} - {v_{y0}} \cdot \left( { - \frac{{{v_y} + {v_{y0}}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( { - \frac{{{v_y} + {v_{y0}}}}{g}} \right)^2}\]ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung\[y = {y_0} - \frac{{v_y^2 - v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\]und nach Umstellen der Gleichung schließlich\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {v_{y0}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} = {v_{y0}} + g \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_y} - {v_{y0}}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_y} - {v_{y0}}}}{g}} \right) + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_y} - {v_{y0}}}}{g}} \right)^2}\]ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung\[y = \frac{{v_y^2 - v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\]und nach Umstellen der Gleichung schließlich\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot y\]