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Grundwissen

Wurf nach unten

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim Wurf nach unten besitzt der fallende Körper eine Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y0}\).
  • Beim Wurf nach unten führt der Körper eine gleichmäßig-beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit aus.
  • Für die Fallzeit eines Körpers gilt \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\).
Aufgaben Aufgaben

Fall mit Anfangsgeschwindigkeit

Gelegentlich kommt es vor, dass ein Körper mit einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \({v_{y0}}\) lotrecht nach unten geworfen wird. Diese Bewegung nennt man in der Physik einen "Wurf nach unten".

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines solchen "Wurf nach unten" dar. Auf der linken Seite sind die Bewegungsgleichungen für den Wurf nach unten und die dazugehörigen Diagramme so dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist - die Bewegung startet hier in der Höhe \(y(0)=y_0\) und mit negativer Geschwindigkeit.

Auf der rechten Seite ist die gleiche Bewegung mit einer nach unten orientierten Ortsachse (y-Achse) dargestellt. Hier beginnt die Bewegung bei \(y(0)=0\) und mit positiver Geschwindigkeit.

Abb. 3 Nach unten geworfener Körper und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen in verschiedenen Koordinatensystemen
Bewegungsgesetze des "Wurfs nach unten"

Für den "Wurf nach unten", d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft mit einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

Tab. 1 Bewegungsgesetze des "Wurfs nach unten"
  Ortsachse nach oben orientiert Ortsachse nach unten orientiert
Zeit-Ort-Gesetz \[{y(t) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\] \[{y(t) = {v_{y0}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \[{{v_y}(t) =  - {v_{y0}} - g \cdot t}\] \[{{v_y}(t) = {v_{y0}} + g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigung-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\] \[{{a_y}(t) = g}\]

Hinweis: Die folgenden Aufgaben besitzen einen höheren mathematischen Anspruch.

Aufgabe

Zeige für die Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse, dass sich die Fallzeit (das ist die Zeitspanne vom Loswerfen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) ergibt.

Lösung

Die Fallzeit \(t_{\rm{F}}\) erhält man durch die Bedingung, dass beim Auftreffen auf den Boden gilt \( y(t_{\rm{F}}) = 0 \). Somit ergibt sich aus dem Zeit-Ort-Gesetz\[y({t_{\rm{F}}}) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot {t_{\rm{F}}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2\]Diese Quadratische Gleichung für die Variable \(t_{\rm{F}}\) hat die beiden Lösungen\[{t_{{\rm{F;1,2}}}} = \frac{{ - {v_{y0}} \pm \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\]von denen nur die Lösung \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) mit dem positiven Vorzeichen vor der Wurzel in Betracht kommt, da die andere Lösung stets negativ ist.

Aufgabe

Aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Ort-Geschwindigkeit-Gesetz erhalten.

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Ort-Geschwindigkeit-Gesetz\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]ergibt.

Lösung

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} =  - {v_{y0}} - g \cdot t \Leftrightarrow t =  - \frac{{{v_y} + {v_{y0}}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {y_0} - {v_{y0}} \cdot \left( { - \frac{{{v_y} + {v_{y0}}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( { - \frac{{{v_y} + {v_{y0}}}}{g}} \right)^2}\]ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung\[y = {y_0} - \frac{{v_y^2 - v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\]und nach Umstellen der Gleichung schließlich\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]

 

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach unten orientierten Ortsachse das Ort-Geschwindigkeit-Gesetz\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot y\]ergibt.

Lösung

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {v_{y0}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} = {v_{y0}} + g \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_y} - {v_{y0}}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_y} - {v_{y0}}}}{g}} \right) + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_y} - {v_{y0}}}}{g}} \right)^2}\]ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung\[y = \frac{{v_y^2 - v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\]und nach Umstellen der Gleichung schließlich\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot y\]