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Grundwissen

Wurf nach oben

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim Wurf nach oben hat der Körper eine Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y}\), führt also eine gleichmäßig-beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit aus.
  • Für die Steigzeit eines Körpers gilt \(t_{\rm S}=\frac{v_{y0}}{g}\).
  • Die maximale Steighöhe des Körpers beträgt \({y_{\rm{S}}} = \frac{{v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\).
Aufgaben Aufgaben

Wirfst du einen Körper mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \({v_{y0}}\) lotrecht nach oben, so nennt man diese Bewegung in der Physik einen "Wurf nach oben".

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines solchen "Wurf nach oben" dar. Die Bewegungsgleichungen für den Wurf nach oben und die dazugehörigen Diagramme sind für den Fall dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist und sich die "Abwurfstelle" am Nullpunkt der Ortsache befindet. Die Größen \(t_{\rm{S}}\) und \(y_{\rm{S}}\) in der Animation bezeichnen Steigzeit (Zeitspanne von "Abwurf" bis zum Erreichen der größten Höhe) und Steighöhe (größte Höhe) des Körpers.

Abb. 4 Nach oben geworfener Körper und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen
Bewegungsgesetze des "Wurfs nach oben"

Für den "Wurf nach oben", d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

Tab. 1 Bewegungsgesetze des "Wurfs nach oben"
  Ortsachse nach oben orientiert
Zeit-Ort-Gesetz \[{y(t) = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \[{{v_y}(t) = {v_{y0}} - g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigung-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\]

Die Steigzeit \(t_{\rm S}\) gilt \(t_{\rm S}=\frac{v_{y0}}{g}\), die gesamte Flugdauer beträgt \(t_{\rm{F}}=2\cdot t_{\rm S}= 2\cdot \frac{v_{y0}}{g}\), und die maximale Steighöhe \(y_{\rm{S}}\) beträgt \({y_{\rm{S}}} = \frac{{v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\).

Verständnisaufgaben
Verständnisaufgabe

Zeige, dass sich beim Wurf nach oben die Steigzeit \(t_{\rm{S}} = \frac{v_{y0}}{g}\) ergibt.

Lösung

Die Steigzeit \(t_{\rm{S}}\) erhält man durch die Bedingung, dass im höchsten Punkt gilt \( v(t_{\rm{S}}) = 0 \). Somit ergibt sich aus dem Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[ 0 = v_{y0} - g \cdot t_{\rm{S}} \Leftrightarrow t_{\rm{S}} = \frac{v_{y0}}{g} \]

Verständnisaufgabe

Zeige, dass sich beim Wurf nach oben die Steighöhe \(y_{\rm{S}} = \frac{{v_{y0}^2}}{2 \cdot g}\) ergibt.

Lösung

Die Steighöhe \(y_{\rm{S}}\) erhält man, indem man in das Zeit-Orts-Gesetz die Steigzeit \(t_{\rm{S}} = \frac{v_0}{g}\) einsetzt:
\[{y_{\rm{S}}} = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g{\left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right)^2} = \frac{{v_{y0}^2}}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{y0}^2}}{g} = \frac{{v_{y0}^2}}{2 \cdot g}\]

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)
Aufgabe

Aus der Kombination von Zeit-Orts-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Orts-Geschwindigkeits-Gesetz erhalten.

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach oben mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = - 2 \cdot g \cdot  y\]
ergibt.

Lösung

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} = {v_{y0}} - g \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}} \right)^2}\]
ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung
\[y = \frac{{v_{y0}^2 - v_y^2}}{{2 \cdot g}} \Leftrightarrow y = - \frac{{v_y^2 - v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\]
und nach Umstellen der Gleichung schließlich
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = - 2 \cdot g \cdot y\]