Freier Fall - Senkrechter Wurf

Die Steigzeit \(t_{\rm{S}}\) erhält man durch die Bedingung, dass im höchsten Punkt gilt \( v(t_{\rm{S}}) = 0 \). Somit ergibt sich aus dem Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[ 0 = v_{y0} - g \cdot t_{\rm{S}} \Leftrightarrow t_{\rm{S}} = \frac{v_{y0}}{g} \]

Die Steighöhe \(y_{\rm{S}}\) erhält man, indem man in das Zeit-Orts-Gesetz die Steigzeit \(t_{\rm{S}} = \frac{v_0}{g}\) einsetzt:
\[{y_{\rm{S}}} = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g{\left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right)^2} = \frac{{v_{y0}^2}}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{y0}^2}}{g} = \frac{{v_{y0}^2}}{2 \cdot g}\]

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} = {v_{y0}} - g \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}} \right)^2}\]
ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung
\[y = \frac{{v_{y0}^2 - v_y^2}}{{2 \cdot g}} \Leftrightarrow y = - \frac{{v_y^2 - v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\]
und nach Umstellen der Gleichung schließlich
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = - 2 \cdot g \cdot y\]