Direkt zum Inhalt

Ausblick

Wurf nach unten (Modellbildung)

Modelldiagramm

wurf_nach_unten_modell.svg
Abb. 1 Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach unten

In Abb. 1 siehst du das Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach unten.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach oben gerichtete Ortsache mit dem Ursprung auf der Erdoberfläche.

Der nach unten geworfene Körper soll zum Zeitpunkt \(t_0 = 0\) eine Anfangshöhe \(y_0 > 0\) und die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 < 0\) haben.

Wirkende Kräfte

Auf einen nach unten geworfenen Körper wirkt nur eine einzige Kraft: seine Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\). Deren Betrag berechnet sich aus der Masse \(m\) des Körpers und dem Ortsfaktor \(g\) durch \(m \cdot g\). Da die Gewichtskraft zum Erdboden und damit entgegen der Orientierung der Orsachse gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{G}} = - m \cdot g\).

Bewegte Masse

Beim einem nach unten geworfenen Körper ändert sich normalerweise seine Masse nicht. Deshalb bleibt die Masse \(m\) konstant.

Kinematik

Die Beschleunigung \(a\) des Körpers berechnen wir nach dem 2. NEWTON'schen Axiom durch \(a = \frac{F_{\rm{G}}}{m}\) und damit nach der Methode der kleinen Schritte die Werte von Geschwindigkeit \(v\) und Ort \(y\).

Programmierung

wurf_nach_unten_javascript.svg
Abb. 2 Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach unten

In Abb. 2 siehst du die zentralen Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach unten.

Wir setzen in diesem Beispiel \(dt = 0{,}01\,\rm{s}\), die Masse soll \(m=1{,}0\,\rm{kg}\), die Anfangshöhe \(y_0 = 10{,}0\,\rm{m}\) und die Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = -5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) betragen.

Das Tabellenblatt führt die Simulation durch und stellt das \(t\)-\(y\)- und das \(t\)-\(v\)-Diagramm dar.

Aufgabe

Bestätige mit Hilfe einer Simulation des Wurfs nach unten die Gültigkeit der Formel \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) für \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\) und \(v_{y0} = -5{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Lösung

Mit \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\),  \(v_{y0} = -5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt sich\[{t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \frac{{ - \left( { - 5{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) + \sqrt {{{\left( { - 5{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 10{,}0\,{\rm{m}}} }}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 2{,}03\,{\rm{s}}\]Die Simulation liefert für \(t=2{,}04\,{\rm{s}}\) \(y = 0{,}09\,{\rm{m}}\) und für \(t=2{,}05\,{\rm{s}}\) \(y = -0{,}01\,{\rm{m}}\). Hier macht sich die numerische Ungenauigkeit der Simulation bemerkbar. Durch eine Verkleinerung der Schrittweite \({\Delta t}\) kannst du aber die Rechengenauigkeit der Simulation erhöhen und dann die Gültigkeit der Formel bestätigen.