Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Tiefe eines Brunnens

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Bild von Jazella auf Pixabay
Abb. 1 Brunnen

Zur Bestimmung der Tiefe eines Brunnens lässt jemand eine Münze in den Brunnen fallen. Er hört das Auftreffen auf den Boden \(1{,}5\,\rm{s}\) nach dem Loslassen der Münze.

Berechne die Tiefe des Brunnens.

Hinweis: Die Schallgeschwindigkeit in Luft hat den Wert \({v_{\rm{S}}} = 340\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Die Gesamtzeit \(\Delta t=1{,}5\,\rm{s}\) vom Loslassen der Münze bis zur Ankunft der Schallwelle setzt sich aus zwei Zeitabschnitten \(t_1\) und \(t_2\)zusammen:

1. Die Münze fällt zum Brunnenboden

Es handelt sich hierbei um eine Bewegung mit der konstanten Beschleunigung \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{\rm{s}^2}\). Wird die hierfür erforderliche Zeit mit \(t_1\) bezeichnet, so folgt für die Brunnentiefe \(h\)\[ h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 \quad (1) \]

2. Das Schallsignal bewegt sich vom Boden des Brunnens zum Beobachter

Das Schallsignal bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit \({v_{\rm{S}}} = 340\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Die für diesen Vorgang erforderliche Zeit wird mit \(t_2\) bezeichnet. Damit folgt für die Brunnentiefe \(h\)\[ h = {v_{\rm{S}}} \cdot t_2 \quad (2) \]

 

Aus den beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) folgt:

 

\[{h} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 = {v_{\rm{S}}} \cdot {t_2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 - {v_{\rm{S}}} \cdot {t_2} = 0 \quad (3)\]Beide Vorgänge spielen sich in der Zeit \( \Delta t = 1{,}5\,\rm{s} \) ab. Also gilt\[ t_1 + t_2 = \Delta t  \Leftrightarrow  t_2 = \Delta t - t_1 \quad (4) \]\((4)\) eingesetzt in \((3)\) ergibt\[\frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 + {v_{\rm{S}}} \cdot {t_1} - {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{ - {v_{\rm{S}}} \pm \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t} }}{g}\]Das Minuszeichen vor der Wurzel führt zu einem negativen Ergebnis für \(t_1\). Diese Lösung ist daher physikalisch nicht sinnvoll. Also gilt\[ t_1 = \frac{-v_S + \sqrt{{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t}}{g} \]Zusammen mit \((1)\) folgt\[\begin{eqnarray}{h} &=& \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{ - {v_{\rm{S}}} + \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t} }}{g}} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{1}{{{g^2}}} \cdot {\left( { - {v_{\rm{S}}} + \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t} } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{{2 \cdot g}} \cdot \left( {{v_{\rm{S}}}^2 - 2 \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t}  + {v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t} \right)\\ &=& \frac{1}{{2 \cdot g}} \cdot \left( {2 \cdot {v_{\rm{S}}}^2 - 2 \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t}  + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t} \right)\\ &=& \frac{1}{{2 \cdot g}} \cdot 2 \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \left( {{v_{\rm{S}}} - \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t}  + g \cdot \Delta t} \right)\\ &=& \frac{{{v_{\rm{S}}}}}{g} \cdot \left( {{v_{\rm{S}}} - \sqrt {{v_{\rm{S}}}^2 + 2 \cdot g \cdot {v_{\rm{S}}} \cdot \Delta t}  + g \cdot \Delta t} \right)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{h} = \frac{{3{,}40 \cdot {{10}^2}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \cdot \left( {3{,}40 \cdot {{10}^2}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - \sqrt {{{\left( {3{,}40 \cdot {{10}^2}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot 3{,}40 \cdot {{10}^2}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}5\,{\rm{s}}}  + 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot 1{,}5\,{\rm{s}}} \right) = 11\,{\rm{m}}\]Das Ergebnis ist auf zwei gültige Ziffern gerundet, da der Ausgangswert \(\Delta t = 1{,}5\,\rm{s}\) nur auf zwei gültige Ziffern genau ist. Der Brunnen ist also ungefähr \(11\,\rm{m}\) tief.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf