Der Tiefe Brunnen im Sinnwellturm (mittelhochdeutsch: sinnwell = rund, rundum) der Nürnberger Kaiserburg ist \(47\,{\rm{m}}\) tief. Er stammt aus der zweiten Hälfte des 13. Jahrhundert und war bei Belagerung die einzige Wasserquelle der Kaiserburg. Um die Tiefe zu demonstrieren, lässt ein Fremdenführer einen Stein in den Brunnen fallen.
Hinweise:
Reibungseffekte sind bei allen Berechnungen zu vernachlässigen.
Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt \(343\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) .
a)
Berechne, wie lange es dauert, bis der Stein unten ankommt.
b)
Berechne die Geschwindigkeit des Steines beim Auftreffen.
c)
Berechne, wie lange die Touristen oben warten müssen, bis sie ein Geräusch vom Auftreffen des Steines hören.
Hinweis: Die gesuchte Zeit setzt sich zusammen aus der Fallzeit des Steines plus der Zeit, die der Schall nach oben benötigt.
d)
Ein Schüler behauptet, er könne den Stein so schnell in den Brunnen werfen, dass man bereits nach \(1{,}5\,\rm{s}\) das Auftreffgeräusch hören kann.
Berechne, mit welcher Geschwindigkeit der Stein dazu abgeworfen werden müsste.
Der Turm ist \(h=47\,\rm{m} \) hoch, der Stein fällt frei. Nach dem Zeit-Ort-Gesetz folgt also\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_0}^2 \Rightarrow t_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 47\,\rm{m}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 3{,}1\,\rm{s}\]
b)
Die Geschwindigkeit ergibt sich über das Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz\[v = g \cdot t_0\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 3{,}1\,\rm{s} = 30\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
c)
Zu der in Teilaufgabe a) berechneten Zeit musst du die Zeit, die der Schall für den Rückweg benötigt, addieren:\[t = t_0 + \frac{h}{c_{\rm{S}}} = 3{,}1\,\rm{s} + \frac{47\,\rm{m}}{343\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} = 3{,}2\,\rm{s}\]
d)
Die Zeit bis zum Hören des Tons setzt sich zusammen aus der Fallzeit und der Zeit, die der Schall für den Rückweg benötigt. Die Abwurfgeschwindigkeit \( v \) ergibt sich aus dem Zeit-Ort-Gesetz\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( {t - \frac{h}{{{c_{\rm{S}}}}}} \right)^2 + v \cdot \left( t - \frac{h}{c_{\rm{S}}} \right) \Leftrightarrow v = \frac{{h - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{\left( {t - \frac{h}{{{c_{\rm{S}}}}}} \right)}^2}}}{{\left( {t - \frac{h}{{{c_{\rm{S}}}}}} \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \frac{{47{\rm{m}} - \frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}^2} \cdot {{\left( {1{,}5\,\rm{s} - \frac{47\,\rm{m}}{343\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{\left( {1{,}5\,\rm{s} - \frac{{47\,{\rm{m}}}}{{343\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right)}} = 28\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
