Ein Körper wird aus einer Höhe von \({y_0} = 20{\rm{m}}\) mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \({5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) nach unten geworfen und bewegt sich dann frei, d.h. allein unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft und ohne Berücksichtigung von Reibungskräften zum Boden. Rechne die folgenden Aufgaben mit \(g = 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).
a)
Berechne die Höhe \(y_1\) des Körpers zum Zeitpunkt \(t_1 = 1\rm{s}\).
b)
Berechne den Zeitpunkt \({t_2}\), zu dem sich der Körper in der Höhe \({y_2} = 5{\rm{m}}\) befindet. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.
c)
Berechne die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) des Körpers, d.h. die Zeitspanne vom Loslassen des Körpers bis zu seinem Auftreffen auf dem Boden. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.
d)
Berechne die Geschwindigkeit \({v_{y1}}\) des Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\).
e)
Berechnen den Zeitpunkt \({t_3}\), zu dem der Körper eine Geschwindigkeit von \({v_{y3}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) besitzt. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.
f)
Berechne die Geschwindigkeit \({v_{y\rm{F}}}\) des Körpers beim Aufprall auf den Boden.
Wir wählen die Orientierung der Ortsachse nach oben. Somit gilt \({y_0} = 20{\rm{m}}\).
a)
Die Höhe \({y_{\rm{1}}}\) des fallenden Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\) erhält man, indem man diesen Zeitpunkt in das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{y_{\rm{1}}} = y\left( {{t_1}} \right) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot {t_1} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_1}^2 \Rightarrow {y_{\rm{1}}} = 20{\rm{m}} - 5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1{\rm{s}} - \frac{1}{2} \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {1{\rm{s}}} \right)^2} = 10{\rm{m}}\]
Der Körper befindet sich also nach \(1{\rm{s}}\) in einer Höhe von \(10{\rm{m}}\) .
b)
Den Zeitpunkt \({t_2}\), zu dem sich der fallende Körper in der Höhe \({y_2} = 5{\rm{m}}\) befindet, erhält man, indem man das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) nach der Zeit \(t\) auflöst (Quadratische Gleichung!)
\[y = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + {v_{y0}} \cdot t + \left( {y - {y_0}} \right) = 0 \Rightarrow {t_{1/2}} = \frac{{ - {v_{y0}} \pm \sqrt {{v_{y0}}^2 - 2 \cdot g \cdot \left( {y - {y_0}} \right)} }}{g}\]
wobei hier aus physikalischen Gründen (positive Zeit) die Lösung mit dem Pluszeichen relevant ist, so dass man
\[t = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {{v_{y0}}^2 - 2 \cdot g \cdot \left( {y - {y_0}} \right)} }}{g}\]
erhält. Setzt man dann in den sich ergebenden Term die Höhe \({y_2} = 5{\rm{m}}\) ein, so ergibt sich
\[{t_2} = \frac{{ - 5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + \sqrt {{{\left( {5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {5{\rm{m}} - 20{\rm{m}}} \right)} }}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \approx 1,3{\rm{s}}\]
Der Körper befindet sich also in einer Höhe von \(5{\rm{m}}\) nach \(1,3{\rm{s}}\).
c)
Die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) ist der Zeitpunkt, zu dem sich der fallende Körper auf der Höhe \({y_{\rm{F}}} = 0{\rm{m}}\) befindet. Ihn erhält man, indem man das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) nach der Zeit \(t\) auflöst (Quadratische Gleichung!)
\[y = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + {v_{y0}} \cdot t + \left( {y - {y_0}} \right) = 0 \Rightarrow {t_{1/2}} = \frac{{ - {v_{y0}} \pm \sqrt {{v_{y0}}^2 - 2 \cdot g \cdot \left( {y - {y_0}} \right)} }}{g}\]
wobei hier aus physikalischen Gründen (positive Zeit) die Lösung mit dem Pluszeichen relevant ist, so dass man
\[t = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {{v_{y0}}^2 - 2 \cdot g \cdot \left( {y - {y_0}} \right)} }}{g}\]
erhält. Setzt man dann in den sich ergebenden Term die Höhe \({y_{\rm{F}}} = 0{\rm{m}}\) ein, so ergibt sich
\[{t_{\rm{F}}} = \frac{{ - 5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + \sqrt {{{\left( {5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {0{\rm{m}} - 20{\rm{m}}} \right)} }}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \approx 1,6{\rm{s}}\]
Die Fallzeit des Körpers beträgt also \(1,6{\rm{s}}\).
d)
Die Geschwindigkeit \({v_{y1}}\) des fallenden Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\) erhält man, indem man diesen Zeitpunkt in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) =-{v_{y0}} - g \cdot t\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{v_{y1}} = {v_y}({t_1}) =-{v_{y0}} - g \cdot {t_1} \Rightarrow {v_{y1}} =-5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}-10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1{\rm{s}} =-15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Der Körper hat also nach \(1{\rm{s}}\) eine Geschwindigkeit von \(-15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
e)
Den Zeitpunkt \({t_3}\), zu dem der fallende Körper eine Geschwindigkeit von \({v_{y3}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) besitzt, erhält man, indem man das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) =-{v_{y0}}-g \cdot t\) nach der Zeit \(t\) auflöst
\[{v_y} =-{v_{y0}} - g \cdot t \Leftrightarrow {v_y} + {v_{y0}} =-g \cdot t \Leftrightarrow t =-\frac{{{v_{y0}} + {v_y}}}{g}\]
und dann in den sich ergebenden Term die Geschwindigkeit \({v_{y3}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{t_3} =-\frac{{5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + \left( {-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 0,5{\rm{s}}\]
Der Körper hat also eine Geschwindigkeit von \(-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach \(0,5{\rm{s}}\).
f)
Die Geschwindigkeit \({v_{y\rm{F}}}\) des Körpers beim Aufprall auf den Boden erhält man, indem man die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) aus Aufgabenteil c) in das Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \({v_y}(t) =-{v_{y0}}-g \cdot t\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{v_{y{\rm{F}}}} = {v_y}({t_{\rm{F}}}) =-{v_{y0}} - g \cdot {t_{\rm{F}}} \Rightarrow {v_{y{\rm{F}}}} =-5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}-10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1{,}6\,{\rm{s}} =-21\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Der Körper hat also beim Aufprall auf den Boden eine Geschwindigkeit von \(-21\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).
