Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Standardaufgaben zum freien Fall

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Abb. 1 Freier Fall eines Körpers und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen in verschiedenen Koordinatensystemen

Ein Körper wird aus einer Höhe von \({y_0} = 20{\rm{m}}\) losgelassen und fällt dann frei, d.h. allein unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft und ohne Berücksichtigung von Reibungskräften zum Boden. Rechne die folgenden Aufgaben mit \(g = 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

a)

Berechne die Höhe \(y_1\) des Körpers zum Zeitpunkt \(t_1 = 1\rm{s}\).

b)

Berechne den Zeitpunkt \({t_2}\), zu dem sich der Körper in der Höhe \({y_2} = 10{\rm{m}}\) befindet. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.

c)

Berechne die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) des Körpers, d.h. die Zeitspanne vom Loslassen des Körpers bis zu seinem Auftreffen auf dem Boden. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.

d)

Berechne die Geschwindigkeit \({v_{y1}}\) des Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\).

e)

Berechne den Zeitpunkt \({t_3}\), zu dem der Körper eine Geschwindigkeit von \({v_{y3}} =-15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) besitzt. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.

f)

Berechne die Geschwindigkeit \({v_{y\rm{F}}}\)des Körpers beim Aufprall auf den Boden

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

 

Wir wählen die Orientierung der Ortsachse nach oben. Somit gilt \({y_0} = 20{\rm{m}}\).

a)

Die Höhe \({y_{\rm{1}}}\) des fallenden Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\) erhält man, indem man diesen Zeitpunkt in das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{y_{\rm{1}}} = y\left( {{t_1}} \right) = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_1}^2 \Rightarrow {y_{\rm{1}}} = 20{\rm{m}} - \frac{1}{2} \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {1{\rm{s}}} \right)^2} = 15{\rm{m}}\]Der Körper befindet sich also nach \(1{\rm{s}}\) in einer Höhe von \(15{\rm{m}}\) .

b)

Den Zeitpunkt \({t_2}\), zu dem sich der fallende Körper in der Höhe \({y_2} = 10{\rm{m}}\) befindet, erhält man, indem man das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) nach der Zeit \(t\) auflöst\[y = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow y - {y_0} =-\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot \left( {{y_0} - y} \right)}}{g} = {t^2}\mathop  \Rightarrow  t = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {{y_0} - y} \right)}}{g}} \]und dann in den sich ergebenden Term die Höhe \({y_2} = 10{\rm{m}}\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{t_2} = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {20{\rm{m}} - 10{\rm{m}}} \right)}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  \approx 1,4{\rm{s}}\]Der Körper befindet sich also in einer Höhe von \(10{\rm{m}}\) nach \(1,4{\rm{s}}\).

c)

Die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) ist der Zeitpunkt, zu dem sich der fallende Körper auf der Höhe \({y_{\rm{F}}} = 0{\rm{m}}\) befindet. Ihn erhält man, indem man das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) nach der Zeit \(t\) auflöst\[y = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow y - {y_0} =-\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot \left( {{y_0} - y} \right)}}{g} = {t^2}\mathop  \Rightarrow  t = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {{y_0} - y} \right)}}{g}} \]und dann in den sich ergebenden Term die Höhe \({y_{\rm{F}}} = 0{\rm{m}}\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {20{\rm{m}} - 0{\rm{m}}} \right)}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = 2,0{\rm{s}}\]Die Fallzeit des Körpers beträgt also \(2,0{\rm{s}}\).

d)

Die Geschwindigkeit \({v_{y1}}\) des fallenden Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\) erhält man, indem man diesen Zeitpunkt in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) =-g \cdot t\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{v_{y1}} = {v_y}({t_1}) =-g \cdot {t_1} \Rightarrow {v_{y1}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1{\rm{s}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Der Körper hat also nach \(1{\rm{s}}\) eine Geschwindigkeit von \(-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

e)

Den Zeitpunkt \({t_3}\), zu dem der fallende Körper eine Geschwindigkeit von \({v_{y3}} =-15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) besitzt, erhält man, indem man das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) =-g \cdot t\) nach der Zeit \(t\) auflöst\[{v_y} =-g \cdot t \Leftrightarrow t =-\frac{{{v_y}}}{g}\]und dann in den sich ergebenden Term die Geschwindigkeit \({v_{y3}} =-15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{t_3} =-\frac{{ - 15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,5{\rm{s}}\]Der Körper hat also eine Geschwindigkeit von \(-15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach \(1,5{\rm{s}}\).

f)

Die Geschwindigkeit \({v_{y\rm{F}}}\) des Körpers beim Aufprall auf den Boden erhält man, indem man die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) aus Aufgabenteil c) in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) =-g \cdot t\) einsetzt. Damit ergibt sich\[{v_{y\rm{F}}} = {v_y}({t_{\rm{F}}}) =-g \cdot {t_{\rm{F}}} \Rightarrow {v_{y\rm{F}}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2,0{\rm{s}} =-20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Der Körper hat also beim Aufprall auf den Boden eine Geschwindigkeit von \(-20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf