Ein Mädchen steht auf dem Dach eines dreistöckigen Hauses und wirft einen Schneeball (fast) senkrecht nach oben, so dass er 5,0m über der Abwurfhöhe umkehrt.
a)
Mit welcher Geschwindigkeit \(v_0\) hat es den Ball abgeworfen?
b)
Wie lange dauert es, bis es den Ball wieder auffangen kann?
Beim Auffangen ist das Mädchen nicht geschickt, so dass ihr der Schneeball entgleitet und so weitere 12m fällt, ehe er versehentlich einen Mann trifft.
c)
Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Schneeball den Mann? Arbeite mit dem Energiesatz!
d)
Die ganze Aktion wird gefilmt. Wie lange dauert der Film, wenn er vom Abwurf bis zum Treffer gehen soll?
Es wird ein Bezugssystem verwandt, dessen Ursprung beim Mädchen liegt und dessen Ortsachse nach oben gerichtet ist. Dies bedeutet \(a = - g\).
\[ \begin{array}{} v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot h \; ; \; \text{mit } v = 0 \text{ und } a = -g \, : -v_0^2 = -2 \cdot g \cdot h \\ \\
v_0 = \pm \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 5,0} \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 9{,}9\, \rm{\frac{m}{s}} \end{array} \]
Bei dem gewählten Bezugssystem muss der positive Wert für \(v_0\) gewählt werden!
b)
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz für den Wurf nach oben:
\[ v(t) = v_0 - g \cdot t \]
Wenn der Ball wieder zum Mädchen kommt ist der Betrag der Geschwindigkeit so groß wie der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit. Jedoch ist die Geschwindigkeitsrichtung entgegen der positiven Ortsachse, also negativ zu zählen. Es gilt: \(v(t) = -v_0 \)
\[ -v_0 = v_0 - g \cdot t_{ges} \quad \Rightarrow \quad g \cdot t_{ges} = 2 \cdot v_0 \\ \\ \\ \\ \\
t_{ges} = \frac{2 \cdot v_0}{g} \quad \Rightarrow \quad t_{ges} = \frac{2 \cdot 9{,}9}{9{,}81}\,\rm{s} \approx 2{,}0\,\rm{s} \]
c)
Lageenergie des Schneeballs im höchsten Punkt = Bewegungsenergie des Schneeballs im tiefsten Punkt
\[ m \cdot g \cdot h_{ges} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{mann}^2 \\ \\ \\ \\
v_{mann} = \pm \sqrt{2 \cdot g \cdot h_{ges}} \quad \Rightarrow \quad v_{mann} = - \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 17} \mathrm{\frac{m}{s}} = -18{,}26\,\rm{\frac{m}{s}} \approx -18{,}3\,\rm{\frac{m}{s}} \]
d)
Man benutzt das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz für den Wurf nach oben in dem vereinbarten Bezugssystem:
\[ v(t) = v_0 - g \cdot t \]
Es ist der Zeitpunkt zu berechnen, bei dem die Geschwindigkeit \(v(t) = v_{mann}\) ist:
\[ v_{mann} = v_0 - g \cdot t_{ges}^\ast \quad \Rightarrow \quad t_{ges}^\ast = \frac{v_{mann} - v_0}{-g} \quad \Rightarrow \quad t_{ges}^\ast = \frac{-18,3 - 9,9}{-9,81} \mathrm{s} \approx 2{,}9\,\rm{s} \]
