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Aufgabe

Gewaltiger Schuss nach oben

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schuss nach oben

Ein Körper wird von der Erdoberfläche mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach oben geschossen. In \(180\,\rm{m}\) Höhe bewegt er sich mit der Momentangeschwindigkeit \(v = 80{,}0\,\rm{\frac{m}{s}} \) nach oben.

a)

Lege ein geeignetes Bezugssystem fest und berechne \(v_0\).

b)

Berechne die maximale Höhe \(h_{\rm{max}}\), welche der Körper erreicht.

c)

Bestimme die Momentangeschwindigkeit, die der Körper beim Herunterfallen in der Höhe \(180\,\rm{m}\) besitzt.

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a)

Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Nullpunkt bei einer Höhe von \( 0\mathrm{m} \) liegt. Geschwindigkeiten nach oben werden mit positivem Vorzeichen gewählt.

Die Ausgangsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz und Ort-Geschwindigkeit-Gesetz:\[ v_0^2 - v_{180}^2 = 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow v_0 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h + v_{180}^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_0 = \sqrt{ 2 \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 180\,\rm{m} + \left( 80{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \right)^2 } = 99{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \]

b)

Die maximale Steighöhe ergibt sich aus dem Zeit-Ort-Gesetz und der Steigzeit \( t = \frac{v_0}{g} \):\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_0}}}{g}} \right)^2} = \frac{{v_0^2}}{{2 \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{{{{\left( {99{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 506\,{\rm{m}}\]

c)

Die Momentangeschwindigkeit des Körpers beim Herunterfallen in der Höhe von \(180\,\rm{m}\) ist bis auf das umgekehrte Vorzeichen gleich der bei der Aufwärtsbewegung, also \( -80{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf