Ein Körper wird von der Erdoberfläche mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach oben geschossen. In \(180\,\rm{m}\) Höhe bewegt er sich mit der Momentangeschwindigkeit \(v = 80{,}0\,\rm{\frac{m}{s}} \) nach oben.
a)
Lege ein geeignetes Bezugssystem fest und berechne \(v_0\).
b)
Berechne die maximale Höhe \(h_{\rm{max}}\), welche der Körper erreicht.
c)
Bestimme die Momentangeschwindigkeit, die der Körper beim Herunterfallen in der Höhe \(180\,\rm{m}\) besitzt.
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Nullpunkt bei einer Höhe von \( 0\mathrm{m} \) liegt. Geschwindigkeiten nach oben werden mit positivem Vorzeichen gewählt.
Die Ausgangsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz und Ort-Geschwindigkeit-Gesetz:\[ v_0^2 - v_{180}^2 = 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow v_0 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h + v_{180}^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_0 = \sqrt{ 2 \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 180\,\rm{m} + \left( 80{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \right)^2 } = 99{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \]
b)
Die maximale Steighöhe ergibt sich aus dem Zeit-Ort-Gesetz und der Steigzeit \( t = \frac{v_0}{g} \):\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_0}}}{g}} \right)^2} = \frac{{v_0^2}}{{2 \cdot g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{{{{\left( {99{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 506\,{\rm{m}}\]
c)
Die Momentangeschwindigkeit des Körpers beim Herunterfallen in der Höhe von \(180\,\rm{m}\) ist bis auf das umgekehrte Vorzeichen gleich der bei der Aufwärtsbewegung, also \( -80{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).