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Aufgabe

GALILEIs Irrtum

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von A. Müller PdN 1/52.

Abb. 1 Unterschiedliches Eindringen eines Nagels in einen Untergund beim Auftreffen von Klötzen, die aus unterschiedlichen Höhen fallen

Es ist tröstlich zu wissen, dass sich auch ein GALILEI auf dem Weg zu seinen Entdeckungen immer wieder geirrt hat. Vorübergehend hat er - ähnlich wie ARISTOTELES - gemeint, die Fallgeschwindigkeit \(v\) sei proportional zur Fallstrecke \(h\) (siehe hierzu auch "Arbeitsweise des GALILEI"), denn er hatte beobachtet, dass eine Ramme, die aus doppelter Höhe fällt, einen Pfahl doppelt so weit in die Erde treibt (\(v\): Geschwindigkeit der Ramme kurz vor dem Auftreffen auf den Pfahl).

a)

Wie lautet die "wirkliche" Abhängigkeit von Fallgeschwindigkeit \(v\) und Fallhöhe \(h\)?

b)

Wie kann man \(d \sim h\) physikalisch begründen (dies trifft in der Realität annähernd zu), wenn \(d\) die Strecke bedeutet, um welche der Pfahl in den Boden getrieben wird?

c)

Wie lautet die "wirkliche" Abhängigkeit von Einschlagtiefe \(d\) der Ramme und Fallgeschwindigkeit \(v\)?

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a)

\[ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \quad \Rightarrow \quad v \sim \sqrt{h} \]

b)

Geht man davon aus, dass die Reibungskraft \(F_r\) beim Hineintreiben des Pfahles konstant ist, so gilt für die Reibungsarbeit:\[ W_r = F_r \cdot d \]Die potenzielle Energie der Ramme wird dazu verwandt, die Reibungsarbeit zu verrichten. Somit gilt\[ E_{pot} = W_r \quad \Rightarrow \quad m \cdot g \cdot h = F_r \cdot d \quad \Rightarrow \quad h \sim d \]

c)

Um den Zusammenhang von \(d\) mit der Geschwindigkeit \(v\) zu erhalten, betrachtet man die kinetische Energie kurz vor dem Auftreffen auf den Pfahl:\[ E_{kin} = W_r \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = F_r \cdot d \quad \Rightarrow \quad v^2 \sim d \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf