Erhaltungssätze und Stöße

Mechanik

Erhaltungssätze und Stöße

  • Warum ist die Energieerhaltung ein so wichtiges Prinzip?
  • Was versteht man eigentlich unter dem Rückstoßprinzip?
  • Was hat Billardspielen mit der Impulserhaltung zu tun?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Energie, die mit Hilfe einer Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(\vec s\) zugeführt wird, heißt Arbeit \(W\).
  • Wird an einem System Arbeit verrichtet, so ist \(W>0\), verrichtet ein System Arbeit, so ist \(W<0\).
  • Wird Arbeit unter einem Winkel \(\alpha\) verrichtet, so gilt \(W = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot \cos \left( \alpha \right)\).

Ein System kann nicht mehr als abgeschlossen betrachtet werden, wenn ihm z.B. von außen Energie zugeführt wird. Deshalb treffen wir folgende Definition:

Energie, die mit Hilfe einer Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(\vec s\) zugeführt wird, heißt Arbeit W.

An einem System wird Arbeit verrichtet oder ein System verrichtet Arbeit

Wird an einem System von außen mechanische Arbeit verrichtet, so steigt die Energie des Systems an. Man sagt zur Arbeit auch "Energietransfer". Es gilt\[\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\]Verrichtet ein System dagegen Arbeit (nach außen), so nimmt die Energie des Systems ab. Auch hier gilt\[\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\]

1 Veränderung \(\Delta E\) der Energie von Systemen, wenn an ihnen Arbeit \(W\) verrichtet wird (links) oder sie selbst Arbeit \(W\) verrichten (rechts)

Die linke Animation in Abb. 1 zeigt, wie einem System von außen Energie \(\Delta E\) zugeführt wird; am System wird dabei die Arbeit \(W\) verrichtet. Die rechte Animation zeigt, wie ein System die Energie \(\Delta E\) abgibt; das System verrichtet dabei die Arbeit \(W\).

Bedeutung des Vorzeichens

Mit Hilfe eines Vorzeichens für die Arbeit kann man berücksichtigen, ob am System oder vom System Arbeit verrichtet wird:

  • Wird am System Arbeit verrichtet, so zählt man \(W\) positiv (\(W > 0\); Kraft und Weg sind gleichgerichtet) und auch \(\Delta E\) ist positiv \(\Delta E > 0\) (die Energie des Systems nimmt ja zu).

  • Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\) und \(\Delta E < 0\).

Arbeit bei Kraftwirkung unter einem Winkel \(\alpha\)

Für die Berechnung der jeweiligen Arbeit gibt es entsprechende Formeln. Dabei ist noch die gegenseitige Richtung des Kraftvektors in Bezug auf den Wegvektor zu beachten. Bildet der Vektor \(\vec F\) mit dem Vektor \(\vec s\) den Winkel der Weite \(\alpha\), so gilt für die Arbeit

\[W = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot \cos \left( \alpha \right)\]

Erläuterung des Gedankenganges an einem Beispiel

Der frei fallende Körper im Erdfeld kann im abgeschlossenen System Körper-Erde betrachtet werden. In diesem System gilt dann der Energieerhaltungssatz.

Betrachtet man dagegen nur das "System Körper" (also ohne die Erde), so greift die Erde von außen am Körper mit der Kraft \({{\vec F}_{\rm{K,E}}}\) an, es liegt ein nicht abgeschlossenes System vor. Die zunehmende kinetische Energie des Körpers resultiert aus der Beschleunigungsarbeit der Kraft \({{\vec F}_{\rm{K,E}}}\). In der folgenden Rechnung wird der Zusammenhang zwischen der Zunahme der kinetischen Energie und dem Betrag  \({{F}_{\rm{K,E}}}\) dieser Kraft hergestellt:
\[\Delta {E_{\rm{kin}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2\]
Mit der kinematischen Formel \(v = \sqrt {2 \cdot g \cdot x} \) ergibt sich
\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{\rm{kin}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( {2 \cdot g \cdot {x_2} - 2 \cdot g \cdot {x_1}} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\ &=& {F_{{\rm{K}}{\rm{,E}}}} \cdot |\Delta h|\\ &=& W\end{eqnarray}\]

Aufgabe: Dehnungsarbeit

An einer horizontal liegenden Feder mit der Federhärte \(2,0\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\) hängt eine Kugel der Masse \(200{\rm{g}}\) (Reibung kann vernachlässigt werden). Zu Beginn des Versuches ist die Feder schon um \(10{\rm{cm}}\) vorgespannt.

Berechne die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn die Feder zum Schluss um insgesamt \(20{\rm{cm}}\) gedehnt sein soll.

 

Aufgabe: Beschleunigungsarbeit

Fritzchen schiebt seine auf einem Schlitten sitzende Schwester (Reibung kann vernachlässigt werden) und hat eine Geschwindigkeit von \(7,2\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) erreicht. Nun kommt ihm sein großer Bruder zu Hilfe und innerhalb einer Strecke von \(8,0{\rm{m}}\) verdoppeln sie die Geschwindigkeit von Schlitten samt Schwester (\(m = 60{\rm{kg}}\)).

Berechne die Beschleunigungsarbeit, die die beiden Brüder verrichteten.

Berechne den Betrag der Kraft, die sie auf den Schlitten ausüben.

Mechanische Energie kann in verschiedenen Formen vorliegen, z.B. in Form von Lageenergie oder in Form von kinetischer Energie.

Die Einheit der Energie ist das Joule: \(\left[ E \right] = 1J\).

Bekannte Energieformen

Lageenergie (potentielle Energie) \[{E_{pot}} = m \cdot g \cdot h\]
Bewegungsenergie (kinetische Energie) \[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\]
Spannenergie \[{E_{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s^2}\]

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik, manchmal kurz auch einfach nur Energiesatz genannt, gilt für abgeschlossene Systeme in denen Reibungsfreiheit angenommen wird. Er besagt, dass die gesamte mechanische Energie eines solchen abgeschlossenen, reibungsfreien Systems erhalten bleibt.

Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System bleibt bei Reibungsfreiheit die gesamte mechanische Energie erhalten. Die verschiedenen Energieformen können sich lediglich ineinander umwandeln.

Dieser Satz kann auch - mehr formal - in eine Gleichung gefasst werden. Geht ein abgeschlossenes System von einem Zustand 1 reibungsfrei in einen Zustand 2 über, so gilt stets:

\[m \cdot g \cdot {h_1} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s_1}^2 = m \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s_2}^2\]

Hinweis:
Bei den von uns betrachteten Problemen ändern sich meist nur zwei Energieformen, so dass die Gleichung dadurch einfacher geschrieben werden kann. Außerdem kann durch geeignete Wahl des Koordinatensystems erreicht werden, dass die potentielle Energie in einem der beiden Zustände Null ist (vgl. z.B. die Aufgabe zum Fadenpendel).

Beispiel: Fadenpendel

Die beiden Formen "Lageenergie" und "kinetische Energie" wandeln sich bei fehlender Reibung fortwährend ineinander um.

1 Zeitlicher Verlauf von kinetischer, potenzieller und gesamter Energie bei einem schwingenden Fadenpendel

Überprüfung des Energiesatzes an einem einfachen Beispiel

Es wird der freie Fall einer Kugel (m = 4,0 kg) aus der Höhe h0 = 45 m auf der Erde betrachtet. Die Erde wirkt mit der Kraft Fk,e auf die Kugel. Umgekehrt übt auch die Kugel eine gegengleiche Kraft Fe,k auf die Erde aus. Kugel und Erde bilden ein abgeschlossenes System, Reibung wird vernachlässigt, für g wird näherungsweise 10 m/s2 verwendet.

Mit Hilfe der folgenden Formeln kann die unten dargestellte Tabelle ausgefüllt werden:
\[x = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\]
\[v = g \cdot t\]
\[h = {h_0} - x\]

 

\(t\rm{\;in\;s}\) \(x\rm{\;in\;m}\) \(v\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\;{\rm{in}}\;{\rm{J}}\) \(h\rm{\;in\;m}\) \(m \cdot g \cdot h\;{\rm{in}}\;{\rm{J}}\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} + m \cdot g \cdot h\;{\rm{in}}\;{\rm{J}}\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(0\) \(45\) \(1800\) \(1800\)
\(1\) \(5\) \(10\) \(200\) \(40\) \(1600\) \(1800\)
\(2\) \(20\) \(20\) \(800\) \(25\) \(1000\) \(1800\)
\(3\) \(45\) \(30\) \(1800\) \(0\) \(0\) \(1800\)

Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass der Term \(E = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) eine Erhaltungsgröße ist, er wird als Gesamtenergie des betrachteten Systems bezeichnet.
 

Aufgabe: Fadenpendel

Wenn das Pendel in der Anfangsstellung ist, hat es die Höhe \(h=10\rm{cm}\) über dem tiefsten Punkt.

Berechne die Geschwindigkeit, die das Pendel im tiefsten Punkt hat, wenn die Reibung vernachlässigbar ist.

Gib eine qualitative Erklärung dafür, dass das Zeit-Energie-Diagramm nicht den nebenstehenden Verlauf hat.

 

 

Aufgabe: Federpendel

Eine Kugel der Masse \(100\rm{g}\) ist an einer horizontal liegenden Feder der Härte \({5,00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{cm}}}}\) befestigt. Feder und Kugel bewegen sich reibungsfrei auf der Unterlage. Die Kugel wird um \(\Delta x = 6,0{\rm{cm}}\) ausgelenkt und dann losgelassen.

Berechne die maximale Geschwindigkeit \(v_{\rm{max}}\) der Kugel.

 

 

Beispiel: Newton-Pendel

Das Newtonpendel, ein nicht nur bei Physikern beliebtes Spielzeug, zeigt, dass manche Versuchsabläufe mit dem Energiesatz wohl vereinbar wären, tatsächlich aber so nicht in der Natur vorkommen.

1 NEWTON-Pendel mit zwei (hypothetischen) Versuchsausgängen

Wählen Sie in obiger Animation die Variante 1:
Die linke Kugel wird um die Höhe \(2 \cdot h\) ausgelenkt und trifft auf die Kugelkette. Als Ergebnis fliegt die rechte Kugel weg und erreicht, wenn die Verluste gering sind, fast wieder die Höhe \(2 \cdot h\). Dieses Versuchsergebnis ist mit dem Energiesatz zu verstehen und tritt im Realexperiment tatsächlich ein.

Wählen Sie in obiger Animation die Variante 2:
Die linke Kugel wird um die Höhe \(2 \cdot h\) ausgelenkt und trifft auf die Kugelkette. Nach dem Energiesatz wäre es auch denkbar, dass z.B. die beiden rechts angeordneten Kugeln wegfliegen, diesmal jedoch nur auf die Höhe \(h\). Im Realexperiment werden Sie dieses Versuchsergebnis jedoch nie beobachten. Der Grund hierfür ist, dass der Versuch nach Variante 2 einen Erhaltungssatz verletzen würde, den Sie im Folgenden kennenlernen werden, den Impulserhaltungssatz. Wenn Sie bereits mit diesen Erhaltungssatz arbeiten können, so finden Sie die Erklärung für die Unmöglichkeit der Variante 2 hier.

Impulsbegriff und Impulserhaltungssatz

Um diesen Satz herzuleiten, betrachten wir die Wechselwirkung zweier Körper unter stark vereinfachenden Annahmen:

  • Die Körper können als Massenpunkte aufgefasst werden.
  • Die Körper bewegen sich auf einer Geraden (eindimensionales Problem).
  • Die während der Wechselwirkung der Körper auftretenden Beschleunigungen seien konstant.
2 Eindimensionaler Stoß zweier Körper mit unterschiedlichen Massen und Geschwindigkeiten und Erläuterung wichtiger Begriffe

Hinweis: Einige wenige Schulbücher, aber viele Formelsammlungen benutzen für die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß statt der Bezeichnungen \({v_1}^\prime \) und \({v_2}^\prime \) die Bezeichnungen \(u_1\) und \(u_2\).

Beispiel: Impulserhaltung beim eindimensionalen Stoß

Während der Wechselwirkung der beiden Körper besagt das 3. NEWTON'sche Axiom
\[ - {F_{12}} = {F_{21}}\]
Unter Verwendung des Kraftgesetzes (2. NEWTON'sches Axiom) gilt dann:
\[ - {m_1} \cdot {a_1} = {m_2} \cdot {a_2}\]
Unter der Annahme konstanter Beschleunigung kann man schreiben:
\[ - {m_1} \cdot \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta t}} = {m_2} \cdot \frac{{\Delta {v_2}}}{{\Delta t}}\]

Multiplikation mit \({\Delta t}\) und Einführung der Differenz zwischen End- und Anfangsgeschwindigkeit ergibt:
\[ - {m_1} \cdot \left( {{v_1}^\prime - {v_1}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\]
Sammeln der Größen vor dem Stoß auf der linken Gleichungsseite, derjenigen nach dem Stoß auf der rechten Gleichungsseite:
\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \]
Einführung der Größe "Impuls p" als Kürzel für das Produkt von Masse und Geschwindigkeit:

Definition des Impulses

Besitzt ein Körper der Masse \(m\) die Geschwindigkeit \({\vec v}\), so definiert man als Impuls des Körpers den Vektor
\[\vec p = m \cdot \vec v\]

Für die Einheit des Impulses gilt
\[\left[ {\vec p} \right] = \left[ {\left| {\vec p} \right|} \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ v \right] = 1{\rm{kg}} \cdot 1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Ns}}\]

Ersetzen der verschiedenen Produkte von Masse und Geschwindigkeit durch den Impuls \(p\), wobei \(p^\prime\) jeweils den Impuls nach der Wechselwirkung darstellt, führt zu:
\[{p_1} + {p_2} = {p_1}^\prime  + {p_2}^\prime \]
Aus der Gleichung kannst du erkennen, dass bei der Wechselwirkung der Impuls eine Erhaltungsgröße darstellt: die Summe der Impuls vor der Wechselwirkung ist gleich der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung!

Verallgemeinerung des Beispiels

Die Erkenntnis der Erhaltung des Gesamtimpulses kannst du auch auf mehrere Partner verallgemeinern. Dabei müssen diese Partner sich auch nicht mehr auf einer Geraden bewegen. Diese Aussagen werden im sogenannten Impulserhaltungssatz, der gelegentlich auch nur kurz Impulssatz genannt wird, zusammengefasst.

Impulserhaltungssatz

In jedem abgeschlossenen System ist die vektorielle Summe der Impulsvektoren vor der Wechselwirkung gleich der vektoriellen Summe der Impulsvektoren nach der Wechselwirkung.

Beispiel

Wie in Abb. 3 dargestell stoßen zwei Gegenstände mit dem Impuls \({\vec p_1}\) bzw. \({\vec p_2}\) aufeinander. Dabei zerbricht ein Gegenstand und es bewegen sich drei Teilchen mit den Impulsen \({\vec p'_3},\quad{\vec p'_4}\) und \({\vec p'_5}\) weiter.

Beispiel für den Impulserhaltungssatz
Abb.
3
Beispiel für den Impulserhaltungssatz

Auch hier gilt der Impulserhaltungssatz und damit \[{\vec p_1} + {\vec p_2} = {\vec p'_{\;3}} + {\vec p'_{\;4}} + {\vec p'_{\;5}}\]

1 Impulsänderung eines sich bewegenden Wagens, auf den kurzzeitig eine Kraft wirkt

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System der Impuls eine Erhaltungsgröße ist.

Was passiert nun, wenn auf das abgeschlossene System (im Beispiel ein reibungsfrei beweglicher Wagen) von außen eine Kraft wirkt?

Sie werden richtig vermuten, dass sich hierdurch der Impuls des Systems ändert. Der genaue Zusammenhang zwischen Impulsänderung und Kraft soll nun hergeleitet werden.

Hinweis: Das rosafarbene Rechteck soll das abgeschlossene System symbolisieren, in das von außen eingegriffen wird.

Wirkt auf den Wagen während der Wechselwirkung mit dem Hammer die Kraft F, so kann man nach dem newtonschen Kraftgesetz schreiben
\[F = m \cdot a\]
Nimmt man vereinfachend an, dass die Beschleunigung des Wagens während der Wechselwirkungsdauer \(\Delta t\) konstant ist, so gilt auch
\[F = m \cdot \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v\]
Dabei ist \(\Delta v = {v_e} - {v_a}\)

 

Das Produkt auf der linken Seite der letzten Gleichung wird als Kraftstoß bezeichnet, die rechte Gleichungsseite stellt die Impulsänderung \(\Delta p\) dar. Somit gilt unter Berücksichtigung des Vektorcharakters von Kraft und Impulsänderung:

Kraftstoß = Impulsänderung
\[\vec F \cdot \Delta t = \Delta \vec p\]

Hinweis: Obige Formel lässt sich auch in der Form \(F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\) schreiben. Sie stellt eine Verallgemeinerung des Kraftgesetzes \(F = m \cdot a\) dar, da sie nicht nur den Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeitsänderung, sondern auch den Zusammenhang zwischen Kraft und Massenänderung beschreibt. Dies ist dann von Interesse, wenn der beschleunigte Körper seine Masse nicht beibehält (vgl. Raketenphysik).

Anwendungen

Eine bestimmte Impulsänderung (z.B. 100 Ns) kann erreicht werden, indem man eine große Kraft (z.B. 1000 N) für eine kurze Zeit (z.B. 0,1 s) oder eine kleinere Kraft (z.B. 100 N) für eine längere Zeit (z.B. 1 s) wirken lässt.

Bei einem Unfall kann der Impuls eines Autofahrers auf Null reduziert werden, indem er auf seine Windschutzscheibe "knallt". Dieser Vorgang läuft in sehr kurzer Zeit ab, die wirkende Kraft ist daher entsprechend groß.

Löst dagegen der Airbag aus, so läuft der Abbremsvorgang des Fahrers über eine längere Zeit, wodurch die wirkende Kraft entsprechend kleiner ist.

Aus diesem Grund hat man auch Kletterseile bis zu einem gewissen Grad elastisch gemacht, so dass bei einem Sturz ins Seil der Abbremsvorgang länger dauert und dadurch die Kraft auf den Gestürzten kleiner wird.

Beim Zusammenstoß eines Autos mit einer Wand könnte man vielleicht meinen, dass der links dargestellte Fall für die Insassen ungünstiger ist. Dies ist jedoch ein Trugschluss, da im linken Fall die Impulsänderung kleiner ist als im rechten Fall. Dementsprechend ist auch die Wechselwirkungskraft bei gleicher Wechselwirkungsdauer im rechten Fall größer.

Aufgabe: Sicherheitsgurt

Das nebenstehende \(t\)-\(F\)-Diagramm zeigt den Verlauf der Kraft auf einen Autofahrer bei einem Frontalzusammenstoß, einmal mit und einmal ohne Sicherheitsgurt.

Begründe mit Hilfe der obigen Formulierung des Kraftgesetzes, wie dieser Unterschied zustande kommt.

 

Als Stoß bezeichnen wir einen Prozess, bei dem zwei Körper (wir bezeichnen sie als Körper 1 und Körper 2) kurzzeitig Kraft aufeinander ausüben - der Physiker sagt dazu auch oft "wechselwirken". Als Folge ändern die Körper ihren Bewegungszustand, möglicherweise auch ihre Form und Zusammensetzung.

Der große Vorteil der Erhaltungssätze wird bei der Beschreibung von Stößen deutlich. Ohne genau zu wissen, wie sich die Wechselwirkung im Detail abspielt, kann man aus der Kenntnis der Massen und der Anfangsgeschwindigkeiten der beteiligten Partner deren Endgeschwindigkeiten vorhersagen. Die Erhaltungssätze haben dabei einen Bilanzcharakter: Man sagt aus den Anfangsbedingungen den Endzustand voraus; was dazwischen ist, braucht man nicht zu wissen.

Für die Beschreibung von Stößen nutzen wir die folgenden Bezeichnungen:

vor der Wechselwirkung nach der Wechselwirkung
Massen
\(m_1\), \(m_2\)
Geschwindigkeiten
\({v_1}\), \({v_2}\) \({v_1}^\prime \), \({v_2}^\prime \)
Impuls
\({m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}\) \({m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\)
Energie
\(\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2\;\;\;\;\;\;\) \(\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime}^2 +\Delta E\)

Dabei ist \(\Delta E\) eine Variable für mögliche Änderungen der inneren Energie der Stoßpartner. Dies kann z.B. die Entwertung von kinetischer Energie bei der plastischen Verformung bei Zusammenstößen oder der Umwandlung von chemischer Energie in kinetische Energie bei Explosionen während der Wechselwirkung sein.

Mit diesen Bezeichnungen lautet der Impulserhaltungssatz\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime  + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \quad(1)\]und der Energieerhaltungssatz\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E \quad(2)\]

Zentrale und exzentrische Stöße

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1 Verlauf eines exzentrischen Stoßes

Die meisten Stöße im Alltag wie z.B. beim Billardspiel sind sogenannte exzentrische Stöße. Man kann diese exzentrischen Stöße daran erkennen, dass sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß in andere Richtungen bewegen wie vor dem Stoß (Abb. 1).

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2 Verlauf eines zentralen Stoßes

Einen Sonderfall stellen die sogenannten zentralen Stöße dar. Man kann diese zentralen Stöße daran erkennen, dass sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß jeweils in die genau entgegengesetzte Richtung bewegen wie vor dem Stoß (Abb. 2).

Du kannst dir sicher vorstellen, dass die Behandlung von exzentrischen Stößen wesentlich komplizierter ist als die von zentralen Stößen. Aus diesem Grund behandelt man in der Schule fast nur zentrale Stöße, was wir im weiteren Verlauf auch tun werden.

Elastische, unelastische und vollkommen unelastische Stöße

Weiter kann man Stöße danach unterschieden, ob beim eigentlichen Stoßprozess die kinetische Energie der beiden Stoßpartner vor dem Stoß erhalten bleibt, oder ob ein Teil dieser kinetischen Energie als innere Energie der Stoßpartner z.B. als Verformungsarbeit der Stoßpartner entwertet wird.

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3 Verlauf eines elastischen Stoßes und beispielhafte Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor und nach dem Stoß

Wir bezeichen einen Stoß als elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß genau so groß ist wie vor dem Stoß (Abb. 3). Anders ausgedrückt:

Bei einem elastischen Stoß geht keine kinetische Energie in innere Energie verloren.

Für einen elastischen Stoß gilt deshalb für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \((2)\)\[\Delta E = 0\]Genauere Betrachtungen zu zentralen elastischen Stößen findest du im entsprechenden Artikel in der Linkliste am Ende dieses Artikels.

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4 Verlauf eines unelastischen Stoßes und beispielhafte Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor und nach dem Stoß

Wir bezeichen einen Stoß als unelastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß kleiner ist als vor dem Stoß (Abb. 4). Anders ausgedrückt:

Bei einem unelastischen Stoß geht kinetische Energie in innere Energie verloren.

Für einen unelastischen Stoß gilt deshalb für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \((2)\)\[\Delta E > 0\]Genauere Betrachtungen zu zentralen unelastischen Stößen findest du im entsprechenden Artikel in der Linkliste am Ende dieses Artikels.

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5 Verlauf eines vollkommen unelastischen Stoßes und beispielhafte Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor und nach dem Stoß

Ein Sonderfall der unelastischen Stöße ist der sogenannte vollkommen unelastische Stoß. Wir bezeichen einen unelastischen Stoß als vollkommen unelastisch, wenn sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen (Abb. 5). Dieser Sonderfall liegt z.B. vor, wenn sich die Stoßpartner beim Stoß ineinander verhaken und sich zusammen weiterbewegen müssen.

Für einen vollkommen unelastischen Stoß gilt deshalb für die Werte \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[{v_1}^\prime = {v_2}^\prime =:v^\prime\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[\Delta E > 0\]Genauere Betrachtungen zu zentralen vollkommen unelastischen Stößen findest du im entsprechenden Artikel in der Linkliste am Ende dieses Artikels.

Rückstöße

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6 Rückstoß

Als Rückstoß bezeichen wir einen Vorgang, bei dem z.B. aufgrund einer chemischen Reaktion innere Energie in kinetische Energie umgewandelt wird. Dies ist z.B. beim Abschuss eines Projektils aus einer Waffe oder beim Abschuss bzw. bei der Explosion eines Feuerwerkskörpers der Fall (Abb. 6). Stets ist dann die Summe der kinetischen Energien der "Stoßpartner" nach dem Rückstoß größer als vor dem Rückstoß. Anders ausgedrückt:

Bei einem Rückstoß wird innere Energie in kinetische Energie umgewandelt.

Für einen Rückstoß gilt deshalb für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[\Delta E < 0\]Genauere Betrachtungen zu Rückstößen findest du im entsprechenden Artikel in der Linkliste am Ende dieses Artikels.

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1 Zentraler elastischer Stoß

Wir bezeichen einen Stoß als elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß genau so groß ist wie vor dem Stoß. Anders ausgedrückt:

Bei einem elastischen Stoß geht keine kinetische Energie in innere Energie verloren.

Für einen elastischen Stoß gilt deshalb für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \((2)\)\[\Delta E = 0\]

Impulserhaltungssatz \((1)\) und Energieerhaltungssatz \((2)\) stellen zwei unabhängige Gleichungen dar. Aus diesen lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen. Meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) vor dem Stoß bekannt. Dann lassen sich aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) durch geschicktes Umformen die unbekannten Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach dem Stoß berechnen.

Zentraler elastischer Stoß

Wir bezeichen einen Stoß als elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß genau so groß ist wie vor dem Stoß, also keine kinetische Energie in innere Energie verloren geht. Für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \((2)\) gilt deshalb\[\Delta E = 0\]

Somit lautet der Impulserhaltungssatz für den zentralen elastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1}  + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime  + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\]und der Energieerhaltungssatz für den zentralen elastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2} ^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden Stoßpartner, \({{v_1}}\) und \({{v_2}}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor dem Stoß und \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner nach dem Stoß.

Dieses System aus zwei Gleichungen lässt sich z.B. nach den Größen \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) auflösen (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe). Man erhält\[{v_1}^\prime  = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]\[{v_2}^\prime  = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]

Hinweise

Bei den konkreten Rechnungen führt man eine positive Zählrichtung z.B. von links nach rechts ein. Alle Geschwindigkeiten und Impulse in diese Richtung werden positiv gezählt, alle Geschwindigkeiten und Impulse in die Gegenrichtung zählt man negativ.

Bei den Rechnungen zu den folgenden Sonderfällen oder bei der Lösung von Aufgaben zu zentralen elastischen Stößen kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen. Wir bieten dir hier eine Rechenvorlage an, die du herunterladen und mit der du dann arbeiten kannst.

Sonderfälle

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2 Zentraler elastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
Sonderfall 1

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \({m_1} = {m_2} = m\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[{v_2}^\prime = v_1\]Die Körper gleicher Masse tauschen beim zentralen elastischen Stoß ihre Geschwindigkeiten aus. Anwendung: Kugelkette

 

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3 Zentraler elastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = -v_1\)
Sonderfall 2

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \(m_1 = m_2 = m\)

Körper 1 und Körper 2 haben vor dem Stoß gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten: \(v_2 = -v_1\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime = -v_1\]\[{v_2}^\prime = -v_2\]Die Körper gleicher Masse mit gleich großen, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten wechseln beim zentralen elastischen Stoß jeweils die Richtungen ihrer Geschwindigkeiten.

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4 Zentraler elastischer Stoß mit \({m_1} \ll {m_2}\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
Sonderfall 3

Körper 1 hat eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2: \({m_1} \ll {m_2}\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime =-v_1\]\[{v_2}^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Der schwere Körper bleibt in Ruhe, der leichte Partner wird "reflektiert", d.h. er behält seine kinetische Energie bei, bewegt sich jedoch in umgekehrter Richtung. Anwendung: Stoß von Gasatomen mit schwerer Behälterwand.

Das Wichtigste auf einen Blick

Elastische Stöße, bei denen während des Stoßvorgangs die gesamte kinetische Energie der Stoßpartner erhalten bleibt, stellen eine Idealisierung dar. In der Praxis ist die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß immer ein wenig geringer als die Summe der kinetischen Energien vor dem Stoß. Solche Stöße nennen wir unelastische Stöße. Für sie gilt der Energieerhaltungssatz in der Form\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime}^2 + \Delta E\;\;\rm{mit}\;\;\Delta E > 0\]

Bemerkenswert ist, dass dennoch für unelastische Stöße weiterhin der Impulserhaltungssatz\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\]gilt.

Zentraler unelastischer Stoß

Wir bezeichen einen Stoß als unelastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner nach dem Stoß kleiner ist als vor dem Stoß, also kinetische Energie in innere Energie verloren geht. Für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungssatz \((2)\) gilt deshalb\[\Delta E > 0\]

Somit lautet der Impulserhaltungssatz für den zentralen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1}  + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime  + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\]und der Energieerhaltungssatz für den zentralen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2} ^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E\;\;\rm{mit}\;\;\Delta E > 0\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden Stoßpartner, \({{v_1}}\) und \({{v_2}}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor dem Stoß, \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner nach dem Stoß und \(\Delta E\) die innere Energie der beiden Stoßpartner nach dem Stoß.

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1 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß

Wir bezeichen einen unelastischen Stoß als vollkommen unelastisch, wenn sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen (Abb. 1). Dieser Sonderfall liegt z.B. vor, wenn sich die Stoßpartner beim Stoß ineinander verhaken und sich zusammen weiterbewegen müssen.

Für einen vollkommen unelastischen Stoß gilt deshalb für die Werte \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[{v_1}^\prime = {v_2}^\prime =:v^\prime\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[\Delta E > 0\]

Impulserhaltungssatz \((1)\) und Energieerhaltungssatz \((2)\) stellen zwei unabhängige Gleichungen dar. Aus diesen lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen. Meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) vor dem Stoß bekannt. Dann lässt sich aus dem Impulserhaltungssatz \((1)\) leicht die unbekannte Geschwindigkeit \(v^\prime\) nach dem Stoß und danach mit dem Energieerhaltungssatz \((2)\) die Änderung der inneren Energie \(\Delta E\) berechnen.

Zentraler vollkommen unelastischer Stoß

Wir bezeichen einen unelastischen Stoß als vollkommen unelastisch, wenn sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen. Dieser Sonderfall liegt z.B. vor, wenn sich die Stoßpartner beim Stoß ineinander verhaken und sich zusammen weiterbewegen müssen.

Für die Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\) gilt deshalb\[{v_1}^\prime = {v_2}^\prime =:v^\prime\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\) gilt deshalb\[\Delta E > 0\]

Somit lautet der Impulserhaltungssatz für den zentralen vollkommen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v^\prime\]und der Energieerhaltungssatz für den zentralen vollkommen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {{v^\prime}^2} + \Delta E\;\;\rm{mit}\;\;\Delta E >0\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden Stoßpartner, \({{v_1}}\) und \({{v_2}}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor dem Stoß, \({{v}^\prime}\) die Geschwindigkeit der beiden Stoßpartner nach dem Stoß und \(\Delta E\) die innere Energie der beiden Stoßpartner nach dem Stoß.

Dieses System aus zwei Gleichungen lässt sich z.B. nach den Größen \(v^\prime\) und \(\Delta E\) auflösen (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe) . Man erhält\[v^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2}\]

Hinweise

Bei den konkreten Rechnungen führt man eine positive Zählrichtung z.B. von links nach rechts ein. Alle Geschwindigkeiten und Impulse in diese Richtung werden positiv gezählt, alle Geschwindigkeiten und Impulse in die Gegenrichtung zählt man negativ.

Bei den Rechnungen zu den folgenden Sonderfällen oder bei der Lösung von Aufgaben zu zentralen vollkommen unelastischen Stößen kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen. Wir bieten dir hier eine Rechenvorlage an, die du herunterladen und mit der du dann arbeiten kannst.

Sonderfälle

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2 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
Sonderfall 1

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \({m_1} = {m_2} = m\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis  (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[v^\prime = \frac{1}{2} \cdot {v_1}\]\[\Delta E = \frac{1}{4} \cdot m \cdot {v_1}^2\]Die beiden Körper bewegen sich nach der Wechselwirkung mit "halber Geschwindigkeit" weiter; beim Stoß wird die Hälfte der ursprünglich vorhandenen kinetischen Energie in innere Energie umgesetzt.

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3 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = -v_1\)
Sonderfall 2

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \(m_1 = m_2 = m\)

Körper 1 und Körper 2 haben vor dem Stoß gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten: \(v_2 = -v_1\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[v^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[\Delta E = m \cdot {{v_1}^2}\]Die beiden Körper ruhen nach der Wechselwirkung; beim Stoß wird die gesamte, ursprünglich vorhandene kinetische Energie in innere Energie umgesetzt.

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4 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \({m_1} \ll {m_2}\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)
Sonderfall 3

Körper 1 hat eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2: \({m_1} \ll {m_2}\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[v^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2\]Die beiden Körper ruhen nach der Wechselwirkung; beim Stoß wird die gesamte, ursprünglich vorhandene kinetische Energie in innere Energie umgesetzt.

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1 Rückstoß

Als Rückstoß bezeichen wir einen Vorgang, bei dem z.B. aufgrund einer chemischen Reaktion innere Energie in kinetische Energie umgewandelt wird. Dies ist z.B. beim Abschuss eines Projektils aus einer Waffe oder beim Abschuss bzw. bei der Explosion eines Feuerwerkskörpers der Fall. Stets ist dann die Summe der kinetischen Energien der "Stoßpartner" nach dem Rückstoß größer als vor dem Rückstoß. Anders ausgedrückt:

Bei einem Rückstoß wird innere Energie in kinetische Energie umgewandelt.

Für einen Rückstoß gilt deshalb für die Werte \(v_1\) und \(v_2\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[v_1 = v_2 =:v\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[\Delta E < 0\]

Impulserhaltungssatz \((1)\) und Energieerhaltungssatz \((2)\) stellen zwei unabhängige Gleichungen dar. Aus diesen lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen. Meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeit \(v\) und die innere Energie \(\Delta E\) vor dem Stoß bekannt. Dann lassen sich aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) durch geschicktes Umformen die unbekannten Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach dem Rückstoß berechnen.

Erhaltungssätze beim Rückstoß

Bei einem Rückstoß lautet der Impulserhaltungssatz\[\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v = {m_1} \cdot {v_1}^\prime  + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \]und der Energieerhaltungssatz\[\frac{1}{2} \cdot \left( {m_1} + {m_2}\right) \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E\;\;\rm{mit}\;\;\Delta E<0\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden "Stoßpartner", \(v\) die Geschwindigkeit der beiden "Stoßpartner" vor dem Rückstoß, \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) die Geschwindigkeiten der beiden "Stoßpartner" nach dem Rückstoß und \(|\Delta E|\) die innere Energie der beiden Stoßpartner, die beim Rückstoß in kinetische Energie umgewandelt wird.

Dieses System aus zwei Gleichungen lässt sich z.B. nach den Größen \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) auflösen. Man erhält \[{v_1}^\prime  = v - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \]\[{v_2}^\prime  = v + \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \]

Hinweis: Im folgenden Artikel gehen die Betrachtungen teilweise deutlich über den Stoff der 10. Klasse hinaus. Diese Seite ist also nur für physikalisch sehr aufgeschlossene Schülerinnen und Schüler mit Ausdauer und guten Mathematikkenntnissen gedacht, die deutlich über den verbindlichen Stoff hinausschauen wollen. Wenn du nicht alles verstehst, brauchst du also kein schlechtes Gewissen zu haben. Für "Experten" aber eine Herausforderung!

Raketenprinzip

Für alle Arten der Fortbewegung gilt das gleiche Prinzip: Man stößt sich von einer bestimmten Materie ab. Betrachten Sie die Fortbewegung zu Lande, zu Wasser und in der Luft unter diesem Aspekt. Im Weltraum gibt es keine Materie von der man sich "abdrücken" könnte, daher muss diese Materie mitgeführt werden. In der Praxis stößt die Rakete meist heiße Gase mit hoher Geschwindigkeit aus und verliert dabei Masse. In der Massenveränderlichkeit eines Wechselwirkungspartners liegt der Unterschied zu den Problemen, die bisher mit dem Impulssatz behandelt wurden.

Raketengleichung von ZIOLKOWSKI

Ziel der folgenden Überlegungen ist, aus den technischen Daten einer Rakete berechnen zu können, welche Geschwindigkeit die Rakete am Ende der Treibstoffverbrennung besitzen wird; die Gleichung, die wir als Ergebnis erhalten, nennt man nach ihrem "Entdecker", dem russischen Physiker Konstantin Eduardowitsch ZIOLKOWSKI die Raketengleichung von ZIOLKOWSKI. Aus der hergeleiteten Formel lässt sich schließlich auch die Höhe berechnen, in der sich die Rakete nach dem Ausbrennen der Triebwerke befindet.

Obwohl eine Rakete ihren Treibstoff kontinuierlich ausstößt, betrachten wir zur Herleitung der Formel eine Rakete, die in kleinen Zeitspannen \(\Delta t\) kleine Treibstoffmengen \(\Delta m\) ausstößt; wir werden später unser Vorgehen genauer rechtfertigen, es führt aber auch zum exakten Ergebnis.

Der Vorgang eines solchen portionsweisen Treibstoffausstoßes soll von einem ruhenden Beobachter aus beschrieben werden. Dieser sieht zum Zeitpunkt \(t\) die Rakete mit der Masse \(m\) mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts fliegen (wir rechnen nach rechts  gerichtete Geschwindigkeiten hier positiv). In der nun folgenden Zeitspanne \(\Delta t\) stößt die Rakete die kleine Menge \(\Delta m\) Treibstoff entgegen ihrer Bewegungsrichtung aus, wodurch sich die Masse der Rakete verringert, die Geschwindigkeit der Rakete dagegen zunimmt. Am Ende dieser Zeitspanne, d.h. zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\), sieht der Beobachter nun die Rakete mit der Masse \(m - \Delta m\) mit der Geschwindigkeit  \(v+ \Delta v\) nach rechts fliegen, gleichzeitig aber auch den Treibstoff mit der Masse \(\Delta m\) mit einer gewissen Geschwindigkeit \(- v_{\rm{T}}\) nach links fliegen (wir rechnen deshalb diese Geschwindigkeit negativ). Die folgende Abbildung zeigt die oben beschriebene Situation.

Für die durch den Treibstoffausstoß verursachte Impulsänderung \(\Delta p\) gilt nun\[\begin{eqnarray}\Delta p &=& p(t + \Delta t) - p(t)\\ &=& \left[ {\left( {m - \Delta m} \right) \cdot \left( {v + \Delta v} \right) + \Delta m \cdot \left( { - {v_{\rm{T}}}} \right)} \right] - m \cdot v\\ &=& \left[ {m \cdot v + m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{\rm{T}}}} \right] - m \cdot v\\ &=& m \cdot v + m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{\rm{T}}} - m \cdot v\\ &=& m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{\rm{T}}}\\ &=& m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot \underbrace {\left( {v + \Delta v + {v_{\rm{T}}}} \right)}_{{v_{{\rm{rel}}}}} \quad(1)\end{eqnarray}\]Hierbei ist \(v_{\rm{rel}} = {v + \Delta v + {v_{\rm{T}}}}\) die Relativgeschwindigkeit, mit der die Rakete ihren Treibstoff ausstößt.

Nach der klassischen Formulierung \({F_{\rm{A}}} = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\) von NEWTONs 2. Axiom ergibt sich nun\[{F_{\rm{A}}} = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \frac{{m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{{\rm{rel}}}}}}{{\Delta t}} = m \cdot \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{\Delta m}}{{\Delta t}}\]Lässt man nun \(\Delta t\) immer kleiner werden (und geht man somit vom portionsweisen Ausstoßen des Treibstoffs zum kontinuierlichen Ausstoß über), so kann man in obiger Beziehung die Differenzenquotienten \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) und \(\frac{{\Delta m}}{{\Delta t}}\) durch die Differentialquotienten \(\frac{{dv}}{{dt}}\) und \(\frac{{dm}}{{dt}}\) ersetzen. Daraus folgt dann\[{F_{\rm{A}}} = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} \Leftrightarrow m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} + {F_{\rm{A}}} \quad(2)\]Nun bezeichnet man den (bei kontinuierlichem Treibstoffausstoß mit gleichbleibender Ausstoßgeschwindigkeit) konstanten Wert \({v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}}\) als Schubkraft \({F_{{\rm{Schub}}}}\) der Rakete, d.h.\[{F_{{\rm{Schub}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} \quad(3)\]Damit wird \((2)\) zu\[m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {F_{{\rm{Schub}}}} + {F_{\rm{A}}} \quad(4)\]Dies ist die Bewegungsgleichung der Rakete; sie hängt also von der Schubkraft und äußeren Kräften (z.B. Gravitationskräften) ab, die bei den vorangegangenen Betrachtungen außer Acht gelassen wurden.

Um Aussagen über die Brennschlussgeschwindigkeit \({v_{\rm{B}}} = v({t_{\rm{B}}})\) und die erreichbare Höhe \({h_B} = h({t_{\rm{B}}})\) zum Zeitpunkt \({t_{\rm{B}}}\) - der sogenannten Brennschlusszeit - machen zu können, muss man die Bewegungsgleichung integrieren. Dieses Verfahren lernt man üblicherweise erst im Mathematikunterricht der Oberstufe. Für die Integration werden die folgenden vereinfachenden Annahmen gemacht:

Der Treibstoff wird im Zeitintervall \(0 \le t \le {t_{\rm{B}}}\) ausgestoßen.

Die Relativgeschwindigkeit \({v_{{\rm{rel}}}}\) ist während der Brennzeit konstant.

Der sogenannte Massenstrom \(\frac{{dm}}{{dt}}\) der ausgestoßenen Gase ist konstant.

Nimmt man an, dass die Rakete nur eine Stufe hat und der Start im Gravitationsfeld der Erde stattfindet (\({F_{\rm{A}}} =  - m \cdot g\), Minuszeichen, da die Gravitationskraft der Schubkraft entgegenwirkt) und dass die Änderung der Fallbeschleunigung und der Luftwiderstandskraft vernachlässigt werden können, so ergibt sich durch Einsetzen und Umformen\[m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} - m \cdot g \Leftrightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{m \cdot dt}} - g \Leftrightarrow dv = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{m} - g \cdot dt\]Integriert man diese Gleichung, so folgt\[\int\limits_0^{{v_{\rm{B}}}} {dv}  = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \int\limits_{{m_{\rm{B}}}}^{{m_0}} {\frac{{dm}}{m}}  - g \cdot \int\limits_0^{{t_{\rm{B}}}} {dt} \]Dabei ist \({{m_0}}\) die Masse der vollgetankten Rakete beim Start und \({{m_{\rm{B}}}}\) die Masse der Rakete beim Brennschluss, also ohne den Treibstoff. Bestimmen der Stammfunktionen und Einsetzen der Grenzen liefert\[{v_{\rm{B}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_0}}}{{{m_{\rm{B}}}}}} \right) - g \cdot {t_{\rm{B}}}\]die sogenannte Raketengleichung von ZIOLKOWSKI. Durch eine weitere Integration erhält man – jetzt ohne ausführliche Rechnung – die nach Brennschluss erreichte Höhe \({h_B}\)\[{h_B} = \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{B}}}}}{{\frac{{dm}}{{dt}}}} \cdot \left[ {\frac{{{m_{\rm{B}}}}}{{{m_0}}} - 1 - \ln \left( {\frac{{{m_0}}}{{{m_{\rm{B}}}}}} \right)} \right] - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{B}}}^2\]

Raketenantrieb mittels Tabellenkalkulation

Die Modellrechnung mit dreimaligem Ausstoß kann man tabellarisch zusammenfassen:

N: Zahl der Ausstöße
m: Gesamtmasse (veränderlich!)
mA: Anfangsmasse der gesamten Rakete
Δv: Geschwindigkeitsänderung der Rakete beim Ausstoß
v: Geschwindigkeit der Rakete nach dem Ausstoß
N
m
Δv
v
0
mo = mA
---
v0 = 0
1
m1 = mo +Δm
\[\Delta {v_{10}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_0}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
v1 = v0 +Δv10
2
m2 = m1 +Δm
\[\Delta {v_{21}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_1}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
v2 = v1 +Δv21
3
m3 = m2 +Δm
\[\Delta {v_{32}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_2}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
v3 = v2 +Δv32
Hieraus ergibt sich der folgende Algorithmus:
\[ m_\text{neu} = m_\text{alt} + \Delta m \]
 
\[ \Delta v = \frac{\Delta m}{m_\text{alt}} \cdot v_\text{rel} \]


Beachten Sie, das Vorzeichen von \[ \Delta m = \frac{m_\text{E} - m_\text{A}}{N} \]

\[ v_\text{neu} = v_\text{alt} + \Delta v \]

In dem folgenden Tabellenblatt kann man die Anfangsmasse mA und die Endmasse mE des gesamten Gefährts, die Zahl N der Ausstöße und die Relativgeschwindigkeit vrel vorgeben. Aus diesen Werten berechnet die Tabellenkalkulation dann jeweils die Geschwindigkeitszunahme Δv und die Geschwindigkeit der Rakete.

zum Tabellenblatt

a) Variieren Sie die Zahl N der Ausstöße bei festem mA, mE und vrel. Wie ändert sich durch den "verfeinerten" Ausstoß die Endgeschwindigkeit vB (Brennschlussgeschwindigkeit) des Wagens (der Rakete)?
b) Variieren Sie bei festem N, mA, und mE die Ausstoßgeschwindigkeit vrel und machen Sie eine Aussage über den Zusammenhang der Endgeschwindigkeit vB mit vrel.
c) Variieren Sie bei festem N, mA, und vrel die Masse mE. Welchen Einfluss hat die Verringerung von mE auf die Endgeschwindigkeit vB?
d) Fassen Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben a-c zusammen und geben Sie eine Empfehlung, was man beim Bau einer Rakete beachten muss, wenn man eine möglichst hohe Endgeschwindigkeit erreichen will.
e)

Die Theorie besagt, dass die Endgeschwindigkeit einer einstufigen Rakete mit der unten angegebenen Beziehung berechenbar ist (Raketengleichung). Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit vB mit obiger Formel für solche Werte, die Sie auch bei der Tabellenkalkulation verwendet haben und vergleichen Sie mit der Endgeschwindigkeit der Tabellenkalkulation für relativ hohe N (> 500). Hinweis ln bedeutet "Logarithmus naturalis" (Logarithmus zur Basis e). Diese Funktion finden Sie auf ihrem Taschenrechner.

Es gilt: \[ v_\text{B} = |v_\text{rel}| \cdot \ln \left( \frac{m_\text{A}}{m_\text{E}} \right) \]
Das Verhältnis \( m_\text{A} / m_\text{E}\) wird als Massenquotient Q bezeichnet

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