Mechanik

Zur Lösung verwendet man den Energiesatz (als Höhenbezugspunkt wählt man den tiefsten Punkt): Die Gesamtenergie in Punkt 1 (größte Auslenkung) ist gleich der Gesamtenergie im Punkt 2 (tiefster Punkt). Da in diesem Fall keine Spannenergie beteiligt ist, gilt somit
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}{\rm{,1}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,1}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}}\\ \Leftrightarrow m \cdot g \cdot h + 0 &=& 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2\\ \Rightarrow {v_2} &=& \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \end{eqnarray}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_2} = \sqrt {2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,1{\rm{m}}}  = 1,4\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Das Pendel ist zunächst in Ruhe und wird dann immer schneller. D.h. zu Beginn der Bewegung verliert es pro Zeiteinheit weniger an Höhe als etwas später. Daher z.B. kein linearer Verlauf der potentiellen Energie mit der Zeit.

Zur Lösung verwendet man wieder den Energiesatz. Die Gesamtenergie in Punkt 1 (größte Auslenkung) ist gleich der Gesamtenergie im Punkt 2 (Feder entspannt). Da in diesem Fall keine Höhenänderungen stattfinden und deshalb die Lageenergie nicht beteiligt ist, gilt somit
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{Spann}}{\rm{,1}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,1}}}} &=& {E_{{\rm{Spann}}{\rm{,2}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\Delta x} \right)^2} + 0 &=& 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2\\ \Rightarrow {v_2} &=& \Delta x \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} \end{eqnarray}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v_{\rm{max}}={v_2} = 0,060{\rm{m}} \cdot \sqrt {\frac{{500\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{0,100{\rm{kg}}}}}  = 4,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Bei großer Belastung hält der Gurt den Fahrer nicht starr an der ursprünglichen Position. Er ist so konstruiert, dass er sich bis zu ca. \(25\rm{cm}\) ausdehnen kann. Dies bedeutet, dass der Abbremsvorgang des Fahrers etwas länger dauern kann. Da die Masse und die Geschwindigkeitsänderung fest bleiben, bedeutet eine längere Abbremsdauer nach der Formel \(F = \frac{{\Delta \left( {m \cdot v} \right)}}{{\Delta t}}\) eine geringere Kraft auf den Fahrer.

\[{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2{v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
\[{v_2}^\prime = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]

Aus \((1)\) folgt durch Kürzen mit \(\frac{1}{2}\), Umsortieren und Anwendung einer binomischen Formel
\[{{m_1} \cdot \left( {{v_1}^2 - {{v_1}^\prime}^2} \right) = {m_2} \cdot \left( {{{v_2}^\prime}^2 - {v_2}^2} \right) \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) \cdot \left( {{v_1} + {{v_1}^\prime}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{{v_2}^\prime} - {v_2}} \right) \cdot \left( {{{v_2}^\prime} + {v_2}} \right)\quad(3)}\]
Aus \((2)\) folgt durch Umsortieren und Ausklammern
\[{m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\quad(4)\]
Dividiert man nun Gleichung \((3)\) durch Gleichung \((4)\), so folgt
\[{v_1} + {{v_1}^\prime} = {v_2}^\prime + {v_2} \Leftrightarrow {v_1} - {v_2} = {v_2}^\prime - {{v_1}^\prime}\quad(5)\]
Hinweis: Gleichung \((5)\) besagt, dass die Beträge der Relativgeschwindigkeiten der beiden Körper vor und nach dem Stoß gleich sind.

Auflösen von Gleichung \((5)\) nach \({v_2}^\prime\) ergibt
\[{v_2}^\prime = {v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2}\quad(6)\]
Setzt man \((6)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man
\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {\left( {{v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2}} \right) - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2} - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} &=& {m_2} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {{v_1}^\prime} - 2{m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {{v_1}^\prime} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) &=& {m_1} \cdot {v_1} - {m_2} \cdot {v_1} + 2{m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {v_1}^\prime &=& \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2{v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\end{eqnarray}\]
Auflösen von Gleichung \((6)\) nach \({v_1}^\prime\) ergibt
\[{v_1}^\prime = {v_2} + {v_2}^\prime - {v_1}\quad(7)\]
Setzt man \((7)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man
\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot \left( {{v_1} - \left( {{v_2} + {v_2}^\prime - {v_1}} \right)} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {v_2} - {v_2}^\prime+ {v_1}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime- {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {v_2} - {m_1} \cdot {v_2}^\prime &=& {m_2} \cdot {v_2}^\prime - {m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {v_2} + {m_2} \cdot {v_2} &=& {m_1} \cdot {v_2}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\\ \Leftrightarrow {m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right) &=& {v_2}^\prime \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {v_2}^\prime&=& \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\end{eqnarray}\]

Aus dem Ergebnis für die Endgeschwindigkeit des 1. Körpers
\[{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
folgt mit \({m_1} = {m_2} = m\) und \(v_2=0\)
\[{v_1}^\prime = \frac{{m \cdot {v_1} + m \cdot \left( {2 \cdot 0 - {v_1}} \right)}}{{m + m}} = \frac{{m \cdot {v_1} - m \cdot {v_1}}}{{2 \cdot m}} = \frac{0}{{2 \cdot m}} = 0\]
Aus dem Ergebnis für die Endgeschwindigkeit des 2. Körpers
\[{v_2}^\prime = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
folgt mit \({m_1} = {m_2} = m\) und \(v_2=0\)
\[{v_2}^\prime = \frac{{m \cdot 0 + m \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - 0} \right)}}{{m + m}} = \frac{{2 \cdot m \cdot {v_1}}}{{2 \cdot m}} = {v_1}\]

Aus dem Ergebnis für die Endgeschwindigkeit des 1. Körpers
\[{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot {v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
folgt mit \(v_2=0\)
\[{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} - {m_2} \cdot {v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch \(m_2\), so ergibt sich
\[{v_1}^\prime = \frac{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \cdot {v_1} - {v_1}}}{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + 1}}\]
Da \({m_1} \ll {m_2}\) ist, gilt \({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \approx 0}\), und somit folgt
\[{v_1}^\prime = \frac{{0 \cdot {v_1} - {v_1}}}{{0 + 1}} =  - {v_1}\]
Ähnlich geht man für \(u_2\) vor; aus dem Ergebnis für die Endgeschwindigkeit des 2. Körpers
\[{v_2}^\prime = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
folgt mit \(v_2=0\)
\[{v_2}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot 2 \cdot {v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \cdot 2 \cdot {v_1}}}{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + 1}}\]
und wieder wegen \({m_1} \ll {m_2}\) und \({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \approx 0}\)
\[{v_2}^\prime = \frac{{0 \cdot 2 \cdot {v_1}}}{{0 + 1}} = 0\]

\[\frac{{{E_1}^\prime }}{{{E_1}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime}^2}}{{\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2}} = \frac{{{{v_1}^\prime}^2}}{{{v_1}^2}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2{v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2}}}{{{v_1}^2}}\]
Wegen \({v_2} = 0\) ergibt sich
\[\frac{{{E_1}^\prime }}{{{E_1}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2 \cdot 0 - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2}}}{{{v_1}^2}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{m_1} \cdot {v_1} - {m_2} \cdot {v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2}}}{{{v_1}^2}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {v_1}} \right)}^2}}}{{{v_1}^2}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2} \cdot {v_1}^2}}{{{v_1}^2}} = {\left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {{m_1} - {m_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}^2}}}\]
Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches durch \({m_2}^2\) ergibt sich
\[\frac{{{E_1}^\prime }}{{{E_1}}} = \frac{{{{\left( {{m_1} - {m_2}} \right)}^2}:{m_2}^2}}{{{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}^2}:{m_2}^2}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + 1} \right)}^2}}}\]

• Hat der Körper 1 eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2 (\({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}}\) geht gegen Null), so prallt Körper 1 elastisch zurück und behält nahezu seine gesamte kinetische Energie. Anwendung: Stoß von Gasteilchen mit der Behälterwand.

• Haben die beiden Körper die gleiche Masse (\({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} = 1\)), so gibt Körper 1 seine gesamte kinetische Energie an den Körper 2 ab. Anwendung: Abbremsung von Neutronen durch die etwa gleich schweren Protonen des Wassers im Kernreaktor.

• Ist das Massenverhältnis größer als 1, so behält der Körper 1 mit zunehmendem \({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}}\) immer mehr kinetische Energie.