Mechanik

Erhaltungssätze und Stöße

Zentraler elastischer Stoß

  • Warum ist die Energieerhaltung ein so wichtiges Prinzip?
  • Was versteht man eigentlich unter dem Rückstoßprinzip?
  • Was hat Billardspielen mit der Impulserhaltung zu tun?

Zentraler elastischer Stoß

Kennzeichen von elastischen Stößen

  • Die gesamte kinetische Energie der zusammenstoßenden Körper bleibt erhalten, d.h. der Erhaltungssatz für die mechanische Energie gilt.

  • Für die Wechselwirkung gilt - wie immer - das Gesetz von Newton III ("actio gegengleich reactio") und der daraus ableitbare Impulserhaltungssatz.

Bezeichnungen

  Masse Geschwindigkeit
vor der Wechselwirkung
Geschwindigkeit
nach der Wechselwirkung
Körper 1 \(m_1\) \({v_1}\) \({v_1}^\prime \)
Körper 2 \(m_2\) \({v_2}\) \({v_2}^\prime \)

Weiter bezeichnet man den Gesamtimpuls vor der Wechselwirkung mit \(p\) und nach der Wechselwirkung mit \(p'\) sowie die gesamte kinetische Energie vor der Wechselwirkung mit \(E\) und nach der Wechselwirkung mit \(E'\).

  vor der Wechselwirkung nach der Wechselwirkung
 
Energie \[E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2\] \[E' = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime}^2\]
Impuls \[p = {m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}\] \[p' = {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\]

Aus der Kombination von Energieerhaltungssatz
\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime}^2\quad(1)\]
und Impulserhaltungssatz
\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\quad(2)\]
die zwei unabhängige Gleichungen darstellen, lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen; meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) vor der Wechselwirkung bekannt und die Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach der Wechselwirkung unbekannt. Dann lassen sich aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) durch geschicktes Umformen die unbekannten Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach der Wechselwirkung berechnen:

\[{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2{v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]
\[{v_2}^\prime = \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\]

Hinweis: Bei den Berechnungen führt man ein positive Zählrichtung ein (z.B. von links nach rechts). Alle Geschwindigkeiten und Impulse in diese Richtung werden positiv gezählt, alle Geschwindigkeiten und Impulse in die Gegenrichtung zählt man negativ.

Aufgabe (nur für mathematisch sehr Interessierte)

Leite die beiden Formeln für die Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach der Wechselwirkung her.

Sonderfälle

1 Zentraler elastischer Stoß zweier Wagen gleicher Masse, von denen einer der beiden Wagen vor dem Stoß in Ruhe ist

Sonderfall 1: Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse; Körper 2 ruht


\({m_1} = {m_2} = m\) und \({v_2} = 0\)

Ergebnis: \({v_1}^\prime = 0\) und \({v_2}^\prime = v_1\)

Die beiden Körper gleicher Masse tauschen beim zentralen, elastischen Stoß ihre Geschwindigkeiten aus. Anwendung: Kugelkette

Leite das Ergebnis des ersten Sonderfalls aus den allgemeinen Formeln her.

2 Zentraler elastischer Stoß zweier Wagen mit wesentlich unterschiedlicher Masse, von denen einer der beiden Wagen vor dem Stoß in Ruhe ist

Sonderfall 2: Körper 1 hat eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2; Körper 2 ruht

\({m_1} \ll {m_2}\) und \({v_2} = 0\)

Ergebnis: \({v_1}^\prime =-v_1\) und \({v_2}^\prime = 0\)

Der schwere Körper bleibt in Ruhe, der leichte Partner wird "reflektiert", d.h. er behält seine kinetische Energie bei, bewegt sich jedoch in umgekehrter Richtung. Anwendung: Stoß von Gasatomen mit schwerer Behälterwand.

Leite das Ergebnis des zweiten Sonderfalls aus den allgemeinen Formeln her.

Stelle das Verhältnis der kinetischen Energie \(\frac{{{{E'}_1}}}{{{E_1}}}\) (Angabe in %) von Körper 1 beim völlig elastischen Stoß mit dem ruhenden Körper 2 in Abhängigkeit vom Massenverhältnis \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}\) grafisch dar und diskutiere das Ergebnis.

Anregung: Untersuche mit der schönen Simulation von Walter Fendt die verschiedenen Typen von elastischen Stößen.

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