Impulserhaltung und Stöße

Für den Schwerpunkt gilt und muss deshalb gezeigt werden: Die Summe der linksdrehenden Momente ist gleich der Summe der rechts drehenden Momente.

Wir wählen als Ortsnullpunkt den vorherigen Schwerpunkt.

Für den Schwerpunkt im Ursprung muss zu jedem Zeitpunkt gelten
\[{F_1} \cdot {a_1} = {F_2} \cdot {a_2} \Leftrightarrow {m_1} \cdot g \cdot {a_1} = {m_2} \cdot g \cdot {a_2} \Leftrightarrow {m_1} \cdot {a_1} = {m_2} \cdot {a_2}\]
Für den Zeitpunkt vor dem Auseinandertreiben gilt danach
\[{F_1} \cdot {a_{1,0}} = {F_2} \cdot {a_{2,0}} \Leftrightarrow {m_1} \cdot {a_{1,0}} = {m_2} \cdot {a_{2,0}}\]
Nach dem Auseinandertreiben gilt wegen des Impulssatzes für die Beträge
\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot {v_1} &=& {m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \frac{{{a_1}(t) - {a_{1,0}}}}{{\Delta t}} &=& {m_2} \cdot \frac{{{a_2}(t) - {a_{2,0}}}}{{\Delta t}}\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{a_1}(t) - {a_{1,0}}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{a_2}(t) - {a_{2,0}}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot {a_1}(t) - {m_1} \cdot {a_{1,0}} &=& {m_2} \cdot {a_2}(t) - {m_2} \cdot {a_{2,0}}\end{eqnarray}\]
und wegen
\[{m_1} \cdot {a_{1,0}} = {m_2} \cdot {a_{2,0}}\]
gilt für jeden Zeitpunkt \(t\)
\[{m_1} \cdot {a_1}(t) = {m_2} \cdot {a_2}(t)\]
was zu beweisen war.