Mechanik

Erhaltungssätze und Stöße

Impuls und Impulserhaltungssatz

  • Warum ist die Energieerhaltung ein so wichtiges Prinzip?
  • Was versteht man eigentlich unter dem Rückstoßprinzip?
  • Was hat Billardspielen mit der Impulserhaltung zu tun?

Impuls und Impulserhaltungssatz

Beispiel: Newton-Pendel

Das Newtonpendel, ein nicht nur bei Physikern beliebtes Spielzeug, zeigt, dass manche Versuchsabläufe mit dem Energiesatz wohl vereinbar wären, tatsächlich aber so nicht in der Natur vorkommen.

1 NEWTON-Pendel mit zwei (hypothetischen) Versuchsausgängen

Wählen Sie in obiger Animation die Variante 1:
Die linke Kugel wird um die Höhe \(2 \cdot h\) ausgelenkt und trifft auf die Kugelkette. Als Ergebnis fliegt die rechte Kugel weg und erreicht, wenn die Verluste gering sind, fast wieder die Höhe \(2 \cdot h\). Dieses Versuchsergebnis ist mit dem Energiesatz zu verstehen und tritt im Realexperiment tatsächlich ein.

Wählen Sie in obiger Animation die Variante 2:
Die linke Kugel wird um die Höhe \(2 \cdot h\) ausgelenkt und trifft auf die Kugelkette. Nach dem Energiesatz wäre es auch denkbar, dass z.B. die beiden rechts angeordneten Kugeln wegfliegen, diesmal jedoch nur auf die Höhe \(h\). Im Realexperiment werden Sie dieses Versuchsergebnis jedoch nie beobachten. Der Grund hierfür ist, dass der Versuch nach Variante 2 einen Erhaltungssatz verletzen würde, den Sie im Folgenden kennenlernen werden, den Impulserhaltungssatz. Wenn Sie bereits mit diesen Erhaltungssatz arbeiten können, so finden Sie die Erklärung für die Unmöglichkeit der Variante 2 hier.

Impulsbegriff und Impulserhaltungssatz

Um diesen Satz herzuleiten, betrachten wir die Wechselwirkung zweier Körper unter stark vereinfachenden Annahmen:

  • Die Körper können als Massenpunkte aufgefasst werden.
  • Die Körper bewegen sich auf einer Geraden (eindimensionales Problem).
  • Die während der Wechselwirkung der Körper auftretenden Beschleunigungen seien konstant.
2 Eindimensionaler Stoß zweier Körper mit unterschiedlichen Massen und Geschwindigkeiten und Erläuterung wichtiger Begriffe

Hinweis: Einige wenige Schulbücher, aber viele Formelsammlungen benutzen für die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß statt der Bezeichnungen \({v_1}^\prime \) und \({v_2}^\prime \) die Bezeichnungen \(u_1\) und \(u_2\).

Beispiel: Impulserhaltung beim eindimensionalen Stoß

Während der Wechselwirkung der beiden Körper besagt das 3. NEWTON'sche Axiom
\[ - {F_{12}} = {F_{21}}\]
Unter Verwendung des Kraftgesetzes (2. NEWTON'sches Axiom) gilt dann:
\[ - {m_1} \cdot {a_1} = {m_2} \cdot {a_2}\]
Unter der Annahme konstanter Beschleunigung kann man schreiben:
\[ - {m_1} \cdot \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta t}} = {m_2} \cdot \frac{{\Delta {v_2}}}{{\Delta t}}\]

Multiplikation mit \({\Delta t}\) und Einführung der Differenz zwischen End- und Anfangsgeschwindigkeit ergibt:
\[ - {m_1} \cdot \left( {{v_1}^\prime - {v_1}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\]
Sammeln der Größen vor dem Stoß auf der linken Gleichungsseite, derjenigen nach dem Stoß auf der rechten Gleichungsseite:
\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \]
Einführung der Größe "Impuls p" als Kürzel für das Produkt von Masse und Geschwindigkeit:

Definition des Impulses

Besitzt ein Körper der Masse \(m\) die Geschwindigkeit \({\vec v}\), so definiert man als Impuls des Körpers den Vektor
\[\vec p = m \cdot \vec v\]

Für die Einheit des Impulses gilt
\[\left[ {\vec p} \right] = \left[ {\left| {\vec p} \right|} \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ v \right] = 1{\rm{kg}} \cdot 1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Ns}}\]

Ersetzen der verschiedenen Produkte von Masse und Geschwindigkeit durch den Impuls \(p\), wobei \(p^\prime\) jeweils den Impuls nach der Wechselwirkung darstellt, führt zu:
\[{p_1} + {p_2} = {p_1}^\prime  + {p_2}^\prime \]
Aus der Gleichung kannst du erkennen, dass bei der Wechselwirkung der Impuls eine Erhaltungsgröße darstellt: die Summe der Impuls vor der Wechselwirkung ist gleich der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung!

Verallgemeinerung des Beispiels

Die Erkenntnis der Erhaltung des Gesamtimpulses kannst du auch auf mehrere Partner verallgemeinern. Dabei müssen diese Partner sich auch nicht mehr auf einer Geraden bewegen. Diese Aussagen werden im sogenannten Impulserhaltungssatz, der gelegentlich auch nur kurz Impulssatz genannt wird, zusammengefasst.

Impulserhaltungssatz

In jedem abgeschlossenen System ist die vektorielle Summe der Impulsvektoren vor der Wechselwirkung gleich der vektoriellen Summe der Impulsvektoren nach der Wechselwirkung.

Beispiel

Wie in Abb. 3 dargestell stoßen zwei Gegenstände mit dem Impuls \({\vec p_1}\) bzw. \({\vec p_2}\) aufeinander. Dabei zerbricht ein Gegenstand und es bewegen sich drei Teilchen mit den Impulsen \({\vec p'_3},\quad{\vec p'_4}\) und \({\vec p'_5}\) weiter.

Beispiel für den Impulserhaltungssatz
Abb.
3
Beispiel für den Impulserhaltungssatz

Auch hier gilt der Impulserhaltungssatz und damit \[{\vec p_1} + {\vec p_2} = {\vec p'_{\;3}} + {\vec p'_{\;4}} + {\vec p'_{\;5}}\]

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