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Grundwissen

Rückstoß

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Abb. 1 Rückstoß

Als Rückstoß bezeichen wir einen Vorgang, bei dem z.B. aufgrund einer chemischen Reaktion innere Energie in kinetische Energie umgewandelt wird. Dies ist z.B. beim Abschuss eines Projektils aus einer Waffe oder beim Abschuss bzw. bei der Explosion eines Feuerwerkskörpers der Fall. Stets ist dann die Summe der kinetischen Energien der "Stoßpartner" nach dem Rückstoß größer als vor dem Rückstoß. Anders ausgedrückt:

Bei einem Rückstoß wird innere Energie in kinetische Energie umgewandelt.

Für einen Rückstoß gilt deshalb für die Werte \(v_1\) und \(v_2\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[v_1 = v_2 =:v\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[\Delta E < 0\]

Impulserhaltungssatz \((1)\) und Energieerhaltungssatz \((2)\) stellen zwei unabhängige Gleichungen dar. Aus diesen lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen. Meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeit \(v\) und die innere Energie \(\Delta E\) vor dem Stoß bekannt. Dann lassen sich aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) durch geschicktes Umformen die unbekannten Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach dem Rückstoß berechnen.

Erhaltungssätze beim Rückstoß

Bei einem Rückstoß lautet der Impulserhaltungssatz\[\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v = {m_1} \cdot {v_1}^\prime  + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \]und der Energieerhaltungssatz\[\frac{1}{2} \cdot \left( {m_1} + {m_2}\right) \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E\;\;\rm{mit}\;\;\Delta E<0\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden "Stoßpartner", \(v\) die Geschwindigkeit der beiden "Stoßpartner" vor dem Rückstoß, \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) die Geschwindigkeiten der beiden "Stoßpartner" nach dem Rückstoß und \(|\Delta E|\) die innere Energie der beiden Stoßpartner, die beim Rückstoß in kinetische Energie umgewandelt wird.

Dieses System aus zwei Gleichungen lässt sich z.B. nach den Größen \({{v_1}^\prime}\) und \({{v_2}^\prime}\) auflösen. Man erhält \[{v_1}^\prime  = v - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \]\[{v_2}^\prime  = v + \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \]

Hinweise

Bei den konkreten Rechnungen führt man eine positive Zählrichtung z.B. von links nach rechts ein. Alle Geschwindigkeiten und Impulse in diese Richtung werden positiv gezählt, alle Geschwindigkeiten und Impulse in die Gegenrichtung zählt man negativ.

Bei den Rechnungen zu den folgenden Sonderfällen oder bei der Lösung von Aufgaben zu Rückstößen kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen. Wir bieten dir hier eine Rechenvorlage an, die du herunterladen und mit der du dann arbeiten kannst.

Sonderfälle

Sonderfall 1

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Abb. 2 Rückstoß mit \({m_1} = {m_2}\) und \(v = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \({m_1} = {m_2} = :m\)

Körper 2 und Körper 2 ruhen vor dem Stoß: \(v = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe) \[{v_1}^\prime = -\sqrt {\frac{{ - \Delta E}}{m}}\]\[{v_2}^\prime = +\sqrt {\frac{{ - \Delta E}}{m}} \]Die Körper gleicher Masse besitzen nach dem Rückstoß also gleich große, entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten.

Sonderfall 2

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Abb. 3 Rückstoß mit \({m_1} \gg {m_2}\) und \(v = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Körper 1 hat eine wesentlich größere Masse als Körper 2: \({m_1} \gg {m_2}\)

Körper 1 und Körper 2 ruhen vor dem Stoß: \(v = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[{v_1}^\prime =0\]\[{v_2}^\prime  = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot \Delta E}}{{{m_2}}}} \]Der schwere Körper bleibt in Ruhe.