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Grundwissen

Impuls und Impulserhaltungssatz

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Impuls ist das Produkt von Masse und Geschwindigkeit eines Körpers: \(\vec{p}=m\cdot\vec{v}\).
  • In einem abgeschlossenen System ist der Impuls erhalten (Impulserhaltungssatz).
Aufgaben Aufgaben

Impulserhaltung beim eindimensionalen Stoß

Um den Impulserhaltungssatz herzuleiten, betrachten wir die Wechselwirkung zweier Körper unter stark vereinfachenden Annahmen:

  • Die Körper können als Massenpunkte aufgefasst werden.
  • Die Körper bewegen sich auf einer Geraden (eindimensionales Problem).
  • Die während der Wechselwirkung der Körper auftretenden Beschleunigungen seien konstant.
Abb. 1 Eindimensionaler Stoß zweier Körper mit unterschiedlichen Massen und Geschwindigkeiten und Erläuterung wichtiger Begriffe

Hinweis: Einige wenige Schulbücher, aber viele Formelsammlungen benutzen für die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß statt der Bezeichnungen \({v_1}^\prime \) und \({v_2}^\prime \) die Bezeichnungen \(u_1\) und \(u_2\).

Mathematische Einführung der Impulserhaltung

Während der Wechselwirkung der beiden Körper besagt das 3. NEWTON'sche Axiom
\[ - {F_{12}} = {F_{21}}\]
Unter Verwendung des Kraftgesetzes (2. NEWTON'sches Axiom) gilt dann:
\[ - {m_1} \cdot {a_1} = {m_2} \cdot {a_2}\]
Unter der Annahme konstanter Beschleunigung kann man schreiben:
\[ - {m_1} \cdot \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta t}} = {m_2} \cdot \frac{{\Delta {v_2}}}{{\Delta t}}\]

Multiplikation mit \({\Delta t}\) und Einführung der Differenz zwischen End- und Anfangsgeschwindigkeit ergibt:
\[ - {m_1} \cdot \left( {{v_1}^\prime - {v_1}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\]
Sammeln der Größen vor dem Stoß auf der linken Gleichungsseite, derjenigen nach dem Stoß auf der rechten Gleichungsseite:
\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \]
Einführung der Größe "Impuls p" als Kürzel für das Produkt von Masse und Geschwindigkeit:

Definition des Impulses

Besitzt ein Körper der Masse \(m\) die Geschwindigkeit \({\vec v}\), so definiert man als Impuls des Körpers den Vektor
\[\vec p = m \cdot \vec v\]

Für die Einheit des Impulses gilt
\[\left[ {\vec p} \right] = \left[ {\left| {\vec p} \right|} \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ v \right] = 1{\rm{kg}} \cdot 1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Ns}}\]

Ersetzen der verschiedenen Produkte von Masse und Geschwindigkeit durch den Impuls \(p\), wobei \(p^\prime\) jeweils den Impuls nach der Wechselwirkung darstellt, führt zu:
\[{p_1} + {p_2} = {p_1}^\prime  + {p_2}^\prime \]
Aus der Gleichung kannst du erkennen, dass bei der Wechselwirkung der Impuls eine Erhaltungsgröße darstellt: die Summe der Impuls vor der Wechselwirkung ist gleich der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung!

Verallgemeinerung der Impulserhaltung

Die Erkenntnis der Erhaltung des Gesamtimpulses kannst du auch auf mehrere Partner verallgemeinern. Dabei müssen diese Partner sich auch nicht mehr auf einer Geraden bewegen. Diese Aussagen werden im sogenannten Impulserhaltungssatz, der gelegentlich auch nur kurz Impulssatz genannt wird, zusammengefasst.

Impulserhaltungssatz

In jedem abgeschlossenen System ist die vektorielle Summe der Impulsvektoren vor der Wechselwirkung gleich der vektoriellen Summe der Impulsvektoren nach der Wechselwirkung.

Beispiel

Wie in Abb. 3 dargestellt stoßen zwei Gegenstände mit dem Impuls \({\vec p_1}\) bzw. \({\vec p_2}\) aufeinander. Dabei zerbricht ein Gegenstand und es bewegen sich drei Teilchen mit den Impulsen \({\vec {p}_3}',\quad{\vec p_4}'\) und \({\vec p_5}'\) weiter.

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Beispiel für den Impulserhaltungssatz

Auch hier gilt der Impulserhaltungssatz und damit \[{\vec p_1} + {\vec p_2} = {\vec p_{3}}' + {\vec p_{4}}' + {\vec p_{5}}'\]

Notwendigkeit der Impulserhaltung am Beispiel des Newton-Pendels

Das Newton-Pendel ist ein nicht nur bei Physikern beliebtes Spielzeug (vgl. Abb 3). Am Newton-Pendel sind einige Versuchsabläufe denkbar und mit dem Energieerhaltungssatz vereinbar, die aber in der Natur nicht vorkommen.

Abb. 3 NEWTON-Pendel mit zwei (hypothetischen) Versuchsausgängen

Wähle in obiger Animation die Variante 1:
Die linke Kugel wird um die Höhe \(2 \cdot h\) ausgelenkt und trifft auf die Kugelkette. Als Ergebnis fliegt die rechte Kugel weg und erreicht, wenn die Verluste gering sind, fast wieder die Höhe \(2 \cdot h\). Dieses Versuchsergebnis ist mit dem Energieerhaltungssatz zu verstehen und tritt im Realexperiment tatsächlich ein.

Wähle in obiger Animation die Variante 2:
Die linke Kugel wird um die Höhe \(2 \cdot h\) ausgelenkt und trifft auf die Kugelkette. Nach dem Energieerhaltungssatz könnten z.B. auch die beiden rechts angeordneten Kugeln wegfliegen, diesmal jedoch nur auf die Höhe \(h\). Im Realexperiment ist dieses Versuchsergebnis jedoch nie zu beobachten. Der Grund hierfür ist, dass der Versuch nach Variante 2 den Impulserhaltungssatz verletzt. Wenn der Energieerhaltungssatz erfüllt ist, gilt für die Geschwindigkeit \(v'\) der zwei wegfliegenden Kugeln nach dem Stoß\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {v'} \right)^2} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}}}{2} \Rightarrow v' = \frac{v}{{\sqrt 2 }}\]Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist \({p_{{\rm{ges}}}} = m \cdot v\), während der Impuls der zwei wegfliegenden Kugeln nach dem Stoß \[ {p_{{\rm{ges}}}'} = 2 \cdot m \cdot v'=2\cdot m\cdot \frac{v}{{\sqrt 2 }} = m \cdot v \cdot \sqrt 2\]Dies entspricht nicht dem Impuls vor dem Stoß.