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Grundwissen

Arbeit als Energietransfer

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Energie, die mit Hilfe einer Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(\vec s\) zugeführt wird, heißt Arbeit \(W\).
  • Wird an einem System Arbeit verrichtet, so ist \(W>0\), verrichtet ein System Arbeit, so ist \(W<0\).
  • Wird Arbeit unter einem Winkel \(\alpha\) verrichtet, so gilt \(W = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot \cos \left( \alpha \right)\).

Ein System kann nicht mehr als abgeschlossen betrachtet werden, wenn ihm z.B. von außen Energie zugeführt wird. Deshalb treffen wir folgende Definition:

Energie, die mit Hilfe einer Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(\vec s\) zugeführt wird, heißt Arbeit W.

An einem System wird Arbeit verrichtet oder ein System verrichtet Arbeit

Wird an einem System von außen mechanische Arbeit verrichtet, so steigt die Energie des Systems an. Man sagt zur Arbeit auch "Energietransfer". Es gilt\[\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\]Verrichtet ein System dagegen Arbeit (nach außen), so nimmt die Energie des Systems ab. Auch hier gilt\[\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\]

Abb. 1 Veränderung \(\Delta E\) der Energie von Systemen, wenn an ihnen Arbeit \(W\) verrichtet wird (links) oder sie selbst Arbeit \(W\) verrichten (rechts)

Die linke Animation in Abb. 1 zeigt, wie einem System von außen Energie \(\Delta E\) zugeführt wird; am System wird dabei die Arbeit \(W\) verrichtet. Die rechte Animation zeigt, wie ein System die Energie \(\Delta E\) abgibt; das System verrichtet dabei die Arbeit \(W\).

Bedeutung des Vorzeichens

Mit Hilfe eines Vorzeichens für die Arbeit kann man berücksichtigen, ob am System oder vom System Arbeit verrichtet wird:

  • Wird am System Arbeit verrichtet, so zählt man \(W\) positiv (\(W > 0\); Kraft und Weg sind gleichgerichtet) und auch \(\Delta E\) ist positiv \(\Delta E > 0\) (die Energie des Systems nimmt ja zu).

  • Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\) und \(\Delta E < 0\).

Arbeit bei Kraftwirkung unter einem Winkel \(\alpha\)

Für die Berechnung der jeweiligen Arbeit gibt es entsprechende Formeln. Dabei ist noch die gegenseitige Richtung des Kraftvektors in Bezug auf den Wegvektor zu beachten. Bildet der Vektor \(\vec F\) mit dem Vektor \(\vec s\) den Winkel der Weite \(\alpha\), so gilt für die Arbeit

\[W = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot \cos \left( \alpha \right)\]

Erläuterung des Gedankenganges an einem Beispiel

Der frei fallende Körper im Erdfeld kann im abgeschlossenen System Körper-Erde betrachtet werden. In diesem System gilt dann der Energieerhaltungssatz.

Betrachtet man dagegen nur das "System Körper" (also ohne die Erde), so greift die Erde von außen am Körper mit der Kraft \({{\vec F}_{\rm{K,E}}}\) an, es liegt ein nicht abgeschlossenes System vor. Die zunehmende kinetische Energie des Körpers resultiert aus der Beschleunigungsarbeit der Kraft \({{\vec F}_{\rm{K,E}}}\). In der folgenden Rechnung wird der Zusammenhang zwischen der Zunahme der kinetischen Energie und dem Betrag  \({{F}_{\rm{K,E}}}\) dieser Kraft hergestellt:
\[\Delta {E_{\rm{kin}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2\]
Mit der kinematischen Formel \(v = \sqrt {2 \cdot g \cdot x} \) ergibt sich
\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{\rm{kin}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( {2 \cdot g \cdot {x_2} - 2 \cdot g \cdot {x_1}} \right)\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\ &=& {F_{{\rm{K}}{\rm{,E}}}} \cdot |\Delta h|\\ &=& W\end{eqnarray}\]

Aufgabe: Dehnungsarbeit

An einer horizontal liegenden Feder mit der Federhärte \(2,0\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\) hängt eine Kugel der Masse \(200{\rm{g}}\) (Reibung kann vernachlässigt werden). Zu Beginn des Versuches ist die Feder schon um \(10{\rm{cm}}\) vorgespannt.

Berechne die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn die Feder zum Schluss um insgesamt \(20{\rm{cm}}\) gedehnt sein soll.

 

Aufgabe: Beschleunigungsarbeit

Fritzchen schiebt seine auf einem Schlitten sitzende Schwester (Reibung kann vernachlässigt werden) und hat eine Geschwindigkeit von \(7,2\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) erreicht. Nun kommt ihm sein großer Bruder zu Hilfe und innerhalb einer Strecke von \(8,0{\rm{m}}\) verdoppeln sie die Geschwindigkeit von Schlitten samt Schwester (\(m = 60{\rm{kg}}\)).

Berechne die Beschleunigungsarbeit, die die beiden Brüder verrichteten.

Berechne den Betrag der Kraft, die sie auf den Schlitten ausüben.