Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Zentraler vollkommen unelastischer Stoß - Sonderfall 3

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \({m_1} \ll {m_2}\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Als dritten Sonderfall des zentralen vollkommen unelastischen Stoßes bezeichnen wir folgende Situation:

Körper 1 hat eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2: \({m_1} \ll {m_2}\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Leite aus den allgemeinen Formeln für den zentralen vollkommen unelastischen Stoß die Formeln\[v^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2\]her.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Aus dem Ergebnis für die Endgeschwindigkeit der beiden Körper\[{v^\prime} = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]folgt mit \(v_2=0\)\[{v^\prime} = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot 0}}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{{{m_1} \cdot {v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch \(m_2\), so ergibt sich\[{v^\prime} = \frac{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \cdot {v_1}}}{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + 1}}\]Da \({m_1} \ll {m_2}\) ist, gilt \({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \approx 0}\), und somit folgt\[{v^\prime} = \frac{{0 \cdot {v_1}}}{{0 + 1}} = 0\]Aus dem Ergebnis für die die Änderung der inneren Energie\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2}\]folgt mit \(v_2=0\)\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {\left( {{v_1} - 0} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {v_1}^2\]Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch \(m_2\), so ergibt sich\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1}}}{{\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + 1}} \cdot {v_1}^2\]und wieder wegen \({m_1} \ll {m_2}\) und \({\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \approx 0}\)\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1}}}{{0 + 1}} \cdot {v_1}^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2\]

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.