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Aufgabe

Waggons am Ablaufberg

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Güterwagen der Masse \(m_1\) wird am oberen Ende eines Ablaufberges mit dem Neigungswinkel \(\alpha=6{,}0^{\circ}\) mit der Geschwindigkeit \(v_0= 5{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\) in Bewegung gesetzt (Reibungskoeffizient \(\mu= 0{,}020\)). Nach einer Strecke von \(x = 120\,\rm{m }\) auf der schiefen Ebene stößt er am unteren Ende des Berges auf einen dort stehenden 2. Güterwagen der Masse \(m_2\). Der Stoß soll teilelastisch erfolgen, wobei 20% der ursprünglich vorhandenen kinetischen Energie in innere Energie umgesetzt wird.

a)

Wie groß ist das Massenverhältnis \(\frac{m_1}{m_2}\) der Wagen, wenn unmittelbar nach dem Zusammenstoß der 1. Wagen stehen bleibt und der zweite wegfährt?

b)

Wie groß ist die Beschleunigung  des 1. Wagens während des Ablaufens vom Berg?

c)

Mit welcher Geschwindigkeit \(v_2\) fährt der 2. Wagen unmittelbar nach dem Stoß weg?

d)

Wie groß ist die Geschwindigkeit \(u\) der Wagen nach dem Stoß, wenn der Stoß völlig unelastisch erfolgt?

e)

Wie viel Prozent der ursprünglichen kinetischen Energie sind dann beim Aufprall in innere Energie umgewandelt worden?

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a)

Auch beim teilelastischen Stoß gilt die Impulserhaltung, damit ergibt sich für die Geschwindigkeit \(v_2\)\[ p = p' \Leftrightarrow  m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 \Rightarrow  v_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_2} \]Beim Stoß wird 20% der ursprünglichen kinetischen Energie in innere Energie umgewandelt, es verbleiben also noch 80% kinetische Energie.\[ \frac{4}{5} \cdot E_\text{kin} = E_\text{kin}'  \Rightarrow  \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 \]Einsetzen der obigen Beziehung für \( v_2 \) und anschließendes Umstellen liefert\[ \frac{4}{5} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = m_2 \cdot \frac{m_1^2 \cdot v_1^2}{m_2^2}  \Rightarrow  \frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5} \]

b)

Die Beschleunigung der Wagens bergab ergibt sich aus der Zerlegung der Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkraft. Die Hangabtriebskraft ist die Beschleunigende. Für sie gilt \( F_\text{a} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha} \). Der Wagen bewegt sich nicht reibungsfrei, die Rollreibung ist \(F_\text{r} = \mu \cdot F_\text{N}\) Die Normalkraft \(F_\text{n}\) ist \(F_\text{n} = m \cdot g \cdot \cos{\alpha}\). Daraus folgt die effektive Beschleunigungskraft \(F_\text{a}'\):\[ F_\text{a}' = F_\text{a} - F_\text{r} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha} - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha} = m \cdot g \cdot \left( \sin{\alpha} - \mu \cdot \cos{\alpha} \right) \]Aus \( F = m \cdot a \) ergibt sich die Beschleunigung \(a'\)\[ a' = g \cdot \left( \sin{\alpha} - \mu \cdot \cos{\alpha} \right) = 0,83\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \]

c)

Ein Weg zur Geschwindigkeit \(v_2\) ergibt sich über die Geschwindigkeit des 1. Wagens beim Stoß und die Impulserhaltung (siehe oben). Die Endgeschwindigkeit \(v_1\) des 1. Wagens folgt aus der Betrachtung der wirkenden Kräfte entlang des Weges und der kinetischen Energie:\[ E_\text{kin,1} = F_\text{a}' \cdot x + E_\text{kin,0}  \Rightarrow  \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = m_1 \cdot a' \cdot x + \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_0^2  \Rightarrow  v_1 = \sqrt{2 \cdot a' \cdot x + v_0^2} \]Einsetzen in die Beziehung für \(v_2\) führt zum Ergebnis\[ v_2 = \frac{4}{5} \cdot \sqrt{2 \cdot a' \cdot x + v_0^2} = 12\mathrm{\frac{m}{s}} \]

d)

Wenn der Stoß vollkommen inelatisch erfolgt rollen die Waggons als Einheit weiter. Es gilt nach wie vor die Impulserhaltung, damit ist\[ m_1 \cdot v_1 = \left( m_1 + m_2 \right) \cdot u  \Rightarrow  m_1 \cdot v_1 = \frac{9}{4} u  \Rightarrow  u = \frac{4}{9} \cdot v_1 = 6,67\mathrm{\frac{m}{s}} \]

e)

Der Anteil der kinetischen Energie, der in innere Energie umgewandelt wurde folgt über die Betrachtung der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß:\[ \frac{U}{E_\text{kin,1}} = \frac{E_\text{kin,1} - E_\text{kin}'}{E_\text{kin,1}} = 1 - \frac{E_\text{kin}'}{E_\text{kin,1}} = 1 - \frac{9 \cdot u^2}{4 \cdot v_1^2} = 0,555 \approx 56\% \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße