Am unteren Ende einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel \(\alpha = 15,0^\circ \) befindet sich eine um \(\Delta l = 8,00{\rm{cm}}\) gespannte arretierte Druckfeder mit \(D = 5,00\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\), welche den Wagen W1 mit der Masse \({m_1} = 500{\rm{g}}\) berührt.
Entfernt man die Arretierung der Feder, so werden \(80\% \) der Spannenergie der Feder auf W1 übertragen. W1 löse sich zum Zeitpunkt \({t_0}\) von der Feder.
Zur Zeit \({t_0}\) wird der Wagen W2 mit der Masse \({m_2} = 500{\rm{g}}\) losgelassen. Die Entfernung der beiden Wagen zum Zeitpunkt \({t_0}\) beträgt \(s = 1,80{\rm{m}}\).
a)
Berechne die Geschwindigkeit \({v_0}\) von W1 zum Zeitpunkt \({t_0}\).
b)
Bestimmen Sie den Zeitpunkt \({t_1}\) des Treffens der beiden Wagen sowie die Entfernung des Treffpunktes T beider Wagen von A.
c)
Berechnen Sie ebenfalls die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) der Wagen W1 und W2 zu diesem Zeitpunkt \({t_1}\).
Nach dem Energieerhaltungssatz ist \(80\% \) der Spannenergie der Feder vor dem Entfernen der Arretierung gleich der Kinetischen Energie des Wagens nach dem Entfernen der Arretierung:
\[{\rm{80\% }} \cdot {E_{{\rm{Spann}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow 80\% \cdot \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_0^2} \Rightarrow v_0 = \sqrt {\frac{{80\% \cdot D}}{m}} \cdot s\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v = \sqrt {\frac{{80\% \cdot 500\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{0,500{\rm{kg}}}}} \cdot 0,0800{\rm{m}} = 2,26\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
b)
Die von Wagen 1 zurückgelegte Strecke (gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit) wird beschrieben durch
\[{s_1}(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t\]
Die von Wagen 2 zurückgelegte Strecke (gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit) wird beschrieben durch
\[{s_2}(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t^2}\]
Die von den beiden Wagen bei ihren Bewegungen bis zum Zeitpunkt \(t_1\) insgesamt zurückgelegte Strecke ist genau die Strecke \(s\):
\[{s_1}\left( {{t_1}} \right) + {s_2}\left( {{t_1}} \right) = s \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t_1}^2 + {v_0} \cdot {t_1} + \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t_1}^2 = s \Leftrightarrow {v_0} \cdot {t_1} = s \Leftrightarrow {t_1} = \frac{s}{{{v_0}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{t_1} = \frac{{1,80{\rm{m}}}}{{2,26\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0,796{\rm{s}}\]
Die Entfernung des Treffpunktes vom Punkt A berechnet man durch
\[{s_2}\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t_1}^2 \Rightarrow {s_2}\left( {0,796{\rm{s}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {\left( {0,796{\rm{s}}} \right)^2} = 0,804{\rm{m}}\]
c)
Die beiden Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) berechnet man durch
\[{v_1}\left( {{t_1}} \right) = - g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t_1} + {v_0} \Rightarrow {v_1}\left( {0,796{\rm{s}}} \right) = - 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot \left( {0,796{\rm{s}}} \right) + 2,26\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 0,239\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
bzw.
\[{v_2}\left( {{t_1}} \right) = g \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot {t_1} \Rightarrow {v_2}\left( {0,796{\rm{s}}} \right) = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \sin \left( {{{15,0}^\circ }} \right) \cdot \left( {0,796{\rm{s}}} \right) = 2,02\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]