Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Rückstoßprinzip

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Auf einem Wagen der Masse \(50\,{\rm{kg}}\) befinden sich ein Beobachter mit der Masse \(75\,{\rm{kg}}\) und ein Stein der Masse \(2{,}0\,{\rm{kg}}\). Der Wagen hat gegenüber der Fahrbahn eine Geschwindigkeit von \(0{,}50\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\). Nun wirft der Beobachter den Stein mit der Geschwindigkeit \(6{,}0\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) relativ zur Fahrbahn entgegen der Fahrtrichtung fort.

Berechne die Geschwindigkeit des Wagens nach dem Wurf und die Energie, die hierbei in kinetische Energie umgewandelt worden ist.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Bei der Lösung der Aufgabe setzen wir die anfängliche Geschwindigkeit von Wagen, Beobachter und Stein positiv, der Stein wird mit negativer Geschwindigkeit abgeworfen. Wir nutzen folgende Bezeichnungen: \({m_1} = 50\,{\rm{kg}}+75\,{\rm{kg}}=125\,{\rm{kg}}\), \({m_2} =2{,}0\,{\rm{kg}}\), \({{v_1} = {v_2} = 0{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\), \({v_2}^\prime = -6{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

Aus dem Impulserhaltungssatz\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \Leftrightarrow {v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} - {m_2} \cdot {v_2}^\prime }}{{{m_1}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_1}^\prime  = \frac{{125\,{\rm{kg}} \cdot 0{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot \left( {0{,}50\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) - 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot \left( { - 6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}}{{125\,{\rm{kg}}}} = 0{,}60\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Da die Angaben nur auf zwei Ziffern genau sind, ist das Ergebnis auf zwei Ziffern gerundet. Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 125\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0{,}50v\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 125\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0{,}60\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {\left( { - 6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} =  - 43\,{\rm{J}}\]Da die Angaben nur auf zwei Ziffern genau sind, ist das Ergebnis auf zwei Ziffern gerundet.

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße