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Aufgabe

Rückstoßprinzip

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Auf einem Wagen der Masse \(50\,{\rm{kg}}\) befinden sich ein Beobachter mit der Masse \(75\,{\rm{kg}}\) und ein Stein der Masse \(2{,}0\,{\rm{kg}}\). Der Wagen hat gegenüber der Fahrbahn eine Geschwindigkeit von \(0{,}50\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\). Nun wirft der Beobachter den Stein mit der Geschwindigkeit \(6{,}0\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\) relativ zur Fahrbahn entgegen der Fahrtrichtung fort.

Berechne die Geschwindigkeit des Wagens nach dem Wurf und die Energie, die hierbei in kinetische Energie umgewandelt worden ist.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Bei der Lösung der Aufgabe setzen wir die anfängliche Geschwindigkeit von Wagen, Beobachter und Stein positiv, der Stein wird mit negativer Geschwindigkeit abgeworfen. Wir nutzen folgende Bezeichnungen: \({m_1} = 50\,{\rm{kg}}+75\,{\rm{kg}}=125\,{\rm{kg}}\), \({m_2} =2{,}0\,{\rm{kg}}\), \({{v_1} = {v_2} = 0{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\), \({v_2}^\prime = -6{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

Aus dem Impulserhaltungssatz\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime \Leftrightarrow {v_1}^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} - {m_2} \cdot {v_2}^\prime }}{{{m_1}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_1}^\prime  = \frac{{125\,{\rm{kg}} \cdot 0{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot \left( {0{,}50\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) - 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot \left( { - 6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}}{{125\,{\rm{kg}}}} = 0{,}60\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Da die Angaben nur auf zwei Ziffern genau sind, ist das Ergebnis auf zwei Ziffern gerundet. Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {{v_1}^\prime} ^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {{v_2}^\prime} ^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} ^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v_2}^\prime} ^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 125\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0{,}50v\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0{,}50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 125\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0{,}60\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {\left( { - 6{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} =  - 43\,{\rm{J}}\]Da die Angaben nur auf zwei Ziffern genau sind, ist das Ergebnis auf zwei Ziffern gerundet.

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.