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Aufgabe

Geschwindigkeiten nach einem Rückstoß

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Rückstoß

Leite für einen Rückstoß aus dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz die beiden Formeln\[{v_1}^\prime = v - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}\]und\[{v_2}^\prime = v + \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}\]für die Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) nach dem Rückstoß her.

Tipp: Betrachte den Rückstoß aus einem bewegten Bezugssystem.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Die Lösung dieser Aufgabe wir wesentlich einfacher, wenn man den Rückstoß aus einem bewegten Bezugssystem heraus betrachtet, dass sich mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts bewegt. In diesem Bezugssystem sollen die beiden verbundenen Körper vor dem Rückstoß im Kooordinatenursprung ruhen und sich nach dem Rückstoß mit den Geschwindigkeiten \(u_1\) und \(u_2\) vom Koordinatenursprung wegbewegen.

In diesem Bezugssystem lautet der Impulserhaltungssatz\[0 = {m_1} \cdot {u_1} + {m_2} \cdot {u_2}\quad (I)\]und der Energieerhaltungssatz\[0 = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {u_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {u_2}^2 + \Delta E\;\;{\rm{mit}}\;\;\Delta {\rm{E}} < {\rm{0 }}\]bzw. nach Division durch \(\frac{1}{2}\)\[0 = {m_1} \cdot {u_1}^2 + {m_2} \cdot {u_2}^2 + 2 \cdot \Delta E \quad(II)\]Auflösen von Gleichung \((I)\) nach \(u_1\) ergibt\[{u_1} = - \frac{{{m_2} \cdot {u_2}}}{{{m_1}}}\quad(III)\]Setzt man \((III)\) in Gleichung \((II)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}0 &=& {m_1} \cdot {\left( { - \frac{{{m_2} \cdot {u_2}}}{{{m_1}}}} \right)^2} + {m_2} \cdot {u_2}^2 + 2 \cdot \Delta E\\ &=& {m_1} \cdot \frac{{{m_2}^2 \cdot {u_2}^2}}{{{m_1}^2}} + {m_2} \cdot {u_2}^2 + 2 \cdot \Delta E\\ &=& \frac{{{m_2}^2 \cdot {u_2}^2}}{{{m_1}}} + \frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot {u_2}^2}}{{{m_1}}} + 2 \cdot \Delta E\\ &=& \frac{1}{{{m_1}}} \cdot \left( {{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}} \right) \cdot {u_2}^2 + 2 \cdot \Delta E\end{eqnarray}\]Löst man diese Gleichung nach \(u_2\) auf, so erhält man\[|{u_2}| = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \]Analog ergibt das Auflösen von Gleichung \((I)\) nach \(u_2\)\[{u_2} = - \frac{{{m_1} \cdot {u_1}}}{{{m_2}}}(IV)\]Setzt man entsprechend \((IV)\) in Gleichung \((II)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}0 &=& {m_1} \cdot {u_1}^2 + {m_2} \cdot {\left( { - \frac{{{m_1} \cdot {u_1}}}{{{m_2}}}} \right)^2} + 2 \cdot \Delta E\\ &=& {m_1} \cdot {u_1}^2 + {m_2} \cdot \frac{{{m_1}^2 \cdot {u_2}^2}}{{{m_2}^2}} + 2 \cdot \Delta E\\ &=& \frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot {u_1}^2}}{{{m_2}}} + \frac{{{m_1}^2 \cdot {u_1}^2}}{{{m_2}}} + 2 \cdot \Delta E\\ &=& \frac{1}{{{m_2}}} \cdot \left( {{m_1} \cdot {m_2} + {m_1}^2} \right) \cdot {u_1}^2 + 2 \cdot \Delta E\end{eqnarray}\]Löst man diese Gleichung nach \(u_1\) auf, so erhält man\[|{u_1}| = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1} \cdot {m_2} + {m_1}^2}}} = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \]Wir setzen schließlich die Vorzeichen so, dass sich nach dem Rückstoß Körper 1 nach links in negativer Zählrichtung und Körper 2 nach rechts in positiver Zählrichtung bewegt. Betrachten wir schließlich den Rückstoß wieder aus dem ruhenden Bezugssystem, in dem sich das bewegte Bezugssystem mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts bewegt, so erhalten wir\[{v_1}' = v - {u_1} = v - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2+{m_1} \cdot {m_2}}}} \]und\[{v_2}' = v + {u_2} = v + \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2+{m_1} \cdot {m_2}}}} \]

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.