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Aufgabe

Erreichen der Erdumlaufbahn - 1. Versuch

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Mit der Raketengleichung \(v = \left| {{v_{{\rm{rel}}}}} \right| \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}}} \right)\); \({\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}}}\) heißt Massenquotient \(Q\) lassen sich nun einige Überlegungen anstellen, die zu einem tieferen Verständnis der Raketenphysik führen.

Die Startmasse \(m_{\rm{A}}\) setzt sich aus der Treibstoffmasse \(m_{\rm{T}}\), der Masse des Raketenkörpers \(m_{\rm{K}}\) und der Masse der Nutzlast \(m_{\rm{L}}\) zusammen. Aus technischen Gründen kann die Treibstoffmasse maximal das Zehnfache der Masse des Raketenkörpers sein, da es sonst zu Festigkeitsproblemen kommt.

a)

Zeige, dass dann \({\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}} \le 11}\) ist.

b)

Untersuche, welche Masse die Nutzlast haben dürfte, wenn \({\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}}}\) den Wert der oberen Grenze 11 annehmen sollte.

c)

Damit ein Flugkörper die Erde auf einer stabilen Bahn umkreisen kann, muss er eine minimale Höhe von \(160\rm{km}\) haben. Wie du im Kapitel "Gravitation" erfahren wirst, bewegt sich der Flugkörper auf einer solchen Bahn mit ca. \(7,8\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\). Die Bewegung auf einem niedrigeren Niveau wäre aufgrund des dort herrschenden Luftwiderstandes nicht mehr möglich. Dieser Widerstand muss auch beim Aufstieg eines Raumschiffes durch die Erdatmosphäre überwunden werden. Die Rakete sollte also mindestens Endgeschwindigkeit von \(9,0\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) erreichen.

Berechne, wie groß die entsprechende Ausstoßgeschwindigkeit der Verbrennungsgase ist, falls der Massenquotient \(11\) beträgt.

d)

Die Hauptmotoren des Space Shuttle verbrennen ein Gemisch aus flüssigem Wasserstoff und Sauerstoff, die Gasausstoßgeschwindigkeit beträgt ca. \(4,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\). Das Verhältnis von Anfangs- und Endmasse ist ca. \(3,5\).

Untersuche, ob ein Shuttle allein mit seinen Hauptmotoren eine Erdumlaufbahn erreichen könnte.

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a)

Mit \({{m_{\rm{T}}} = 10 \cdot {m_{\rm{K}}}}\)erhält man\[Q=\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}} = \frac{{{m_{\rm{T}}} + {m_{\rm{K}}} + {m_{\rm{L}}}}}{{{m_K} + {m_{\rm{L}}}}} = \frac{{10 \cdot {m_{\rm{K}}} + {m_{\rm{K}}} + {m_{\rm{L}}}}}{{{m_K} + {m_{\rm{L}}}}} = \frac{{11 \cdot \left( {{m_{\rm{K}}} + {m_{\rm{L}}}} \right) - 10 \cdot {m_{\rm{L}}}}}{{{m_K} + {m_{\rm{L}}}}} = 11 - \frac{{10 \cdot {m_{\rm{L}}}}}{{{m_K} + {m_{\rm{L}}}}} \le 11 \quad(1)\]Der Massenquotient \(Q\) kann höchstens den Wert \(11\) annehmen

b)

Wenn \(Q = 11\) ist, so gilt wegen \((1)\)\[11 = 11 - \frac{{10 \cdot {m_{\rm{L}}}}}{{{m_K} + {m_{\rm{L}}}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{L}}} = 0\] Bei dem maximal erreichbaren Massenkoeffizienten dürfte keine Nutzlast mehr mitgeführt werden.

c)

Mit \(Q = 11\); \({{v_{\rm{B}}} = 9,0\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}\) erhäält man\[{v_{\rm{B}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( Q \right) \Leftrightarrow {v_{{\rm{rel}}}} = \frac{{{v_{\rm{B}}}}}{{\ln \left( Q \right)}} \Rightarrow {v_{{\rm{rel}}}} = \frac{{9,0\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}}{{\ln \left( {11} \right)}} = 3,8\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

d)

Mit \({v_{{\rm{rel}}}} = 4,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\); \(Q = 3,5\) ergibt sich\[{v_{\rm{B}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( Q \right) \Rightarrow {v_{\rm{B}}} = 4,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} \cdot \ln \left( {3,5} \right) = 5,8\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]Diese Geschwindigkeit reicht zum Erreichen einer stabilen Bahn nicht aus.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße