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Versuche

Pfeil und Bogen (CK-12-Simulation)

Das Ziel der Simulation

  • Flächeninterpretation der Arbeit anwenden
  • Einfluss von Elastizität und Auslenkung eines Bogens auf die Spannenergie untersuchen

Wie viel Spannenergie ist in einem Bogen gespeichert?

Abb. 1. Ein Junge spannt einen Spielzeugbogen aus Plastik.

damit man mit einem Bogen weit schießen kann, muss er möglichst viel Spannenergie aufnehmen und an den Pfeil abgeben können. Gleichzeitig muss der Bogen gut von Hand gespannt - und im gespannten Zustand zum Zielen ruhig gehalten werden können. Mit Hilfe der CK-12-Simulation 'Pfeil und Bogen' kannst du untersuchen,wie ein Bogen beschaffen sein muss, damit er diese Bedingungen erfüllt.

 

Die Simulation kurz erklärt

Abb. 2. Übersicht über die Bedienelemente der Simulation.

 

Hinweis: Die Simulation wird in einigen Browsern nicht in einem neuen Tab, sondern im Vollbildmodus dargestellt. Wenn du also die Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig mit der Simulation arbeiten möchtest, solltest du die Aufgaben und die Simulation auf zwei verschiedenen Geräten aufrufen. 

Hier geht es zur Simulation

Abb. 3 Woher erhält ein Pfeil seine Bewegungsenergie?
Aufgabe
Ablesen von Größen aus der Simulation

1.) Finde die beiden Wertekombinationen aus Auslenkung und Elastizitätskonstante, mit der der Pfeil eine Geschwindigkeit von $4{\cdot}\text{v}$ erreicht.

Lösung

  • Kombination 1: Elastizitätskonstante $1{\cdot}\text{k}$, Auslenkung $s=4{\cdot}\text{x}$
  • Kombination 2: Elastizitätskonstante $4{\cdot}\text{k}$, Auslenkung $s=2{\cdot}\text{x}$

 

2.) Entscheide anhand des Auslenkungs-Kraft-Diagramms, wofür die Schützin mehr Energie aufbringen muss:

  • Den Bogen von $s=0{\cdot}\text{x}$ auf $s=1{\cdot}\text{x}$ zu spannen
  • Den Bogen von $s=1{\cdot}\text{x}$ auf $s=2{\cdot}\text{x}$ zu spannen

Lösungsvorschläge

Lösung

CC-BY-NC 4.0 CK12 Foundation; Paul Schlummer
Abb. 4. Markierung der beiden Flächen im Auslenkungs-Kraft-Diagramm. Für das Spannen des Bogens von $s=1{\cdot}\text{x}$ auf $s=2{\cdot}\text{x}$ wird mehr Arbeit benötigt.

Die jeweils geleistete Arbeit entspricht der Fläche unter dem Auslenkungs-Kraft-Diagramm (Abb. 4). Die Fläche $A_1$ zwischen Ursprung und $s=1{\cdot}\text{x}$ ist deutlich kleiner als die Fläche $A_2$ zwischen $s=1{\cdot}\text{x}$ und $s=2{\cdot}\text{x}$. Daher kannst du sagen, dass die Schützin für das Spannen des Bogens von $s=1{\cdot}\text{x}$ auf $s=2{\cdot}\text{x}$ deutlich mehr Energie aufwenden muss, auch wenn die jeweils ausgelenkte Strecke gleich groß ist.

 
Entscheidung für den richtigen Bogen

3.) Die Schützin kann mit ihren Armmuskeln maximal eine Kraft von $F_\text{Spann}=8{\cdot}\text{k}{\cdot}\text{x}$ aufwenden, um den Bogen zu spannen. Sie hat die Wahl zwischen

  • einem harten Stahlbogen (Elastizitätskonstante  $k_\text{Stahl}=4{\cdot}\text{k}$), den sie maximal um die Strecke $s_1=2{\cdot}\text{x}$ auslenken kann, oder
  • einem weichen Holzbogen (Elastizitätskonstante $k_\text{Holz}=2{\cdot}\text{k}$), den sie daher um die Strecke $s_2=4{\cdot}\text{x}$ auslenken kann.

Entscheide anhand der Simulation, mit welchem Bogen die Schützin weiter schießen kann.

Lösung

Einstellen der genannten Werte für Elastizitätskonstante und Auslenkung liefert:

  • Stahlbogen ($4{\cdot}\text{k}$, $2{\cdot}\text{x}$): Die Abschussgeschwindigkeit beträgt $4{\cdot}\text{v}$
  • Holzbogen ($2{\cdot}\text{k}$, $4{\cdot}\text{x}$): Die Abschussgeschwindigkeit beträgt $5{,}7{\cdot}\text{v}$.

Mit dem weichen Holzbogen kann die Schützin also weiter schießen als mit dem harten Stahlbogen.

 
Zurückführen der Entscheidung auf eine physikalische Gesetzmäßigkeit

4.) Begründe anhand des Auslenkung-Kraft-Diagramms, warum bei gleichem Kraftaufwand der Pfeil je nach gewähltem Bogen trotzdem unterschiedlich schnell fliegt.

Lösung

CC-BY-NC 4.0 CK12 Foundation; Paul Schlummer
Abb. 5. Markierung der beiden Flächen im Auslenkungs-Kraft-Diagramm. Bei gleicher Spannkraft ergibt sich beim weichen Bogen die größere Fläche, also höhere Spannenergie.

Der Holzbogen hat im Vergleich zum Stahlbogen eine kleinere Elastizitätskonstante k. Der Vergleich der beiden Dreiecke im Auslenkung-Kraft-Diagramm (Abb. 5) zeigt, dass der Holzbogen mehr Energie aufnimmt (Fläche $A_2$ als der Stahlbogen (Fläche $A_1$), wenn an ihm mit derselben Kraft gezogen wird.

 

 

 

 

 

 

Dies lässt sich auf mehrere Weisen begründen, die letztlich gleichbedeutend sind:

Geometrische Begründung:
Abb. 6. Reduzierte Darstellung der Dreiecke aus Abb. 3.

Die verrichtete Spannarbeit lässt sich als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auffassen. Die beiden Katheten des Dreiecks haben die Seitenlängen $F$ und $s$, der Flächeninhalt beträgt demnach $A=\frac{1}{2}F\cdot s^2$. Da die Kraft der Bogenschützin einen festen Maximalwert hat, ist die Seitenlänge $F$ des Dreiecks bereits festgelegt. Der Flächeninhalt des Dreiecks kann bei konstantem F nur vergrößert werden, wenn die andere Kathete $s$ des Dreiecks möglichst lang gewählt wird, wie in Abb. 6 gezeigt. Diese Kathete entspricht dem Wert für die Auslenkung des Bogens. Verlängert man aber die Kathete $s$ und lässt die andere Kathete $F$ konstant, muss sich automatisch die Steigung $K$ der dritten Seite des Dreicks verringern (Abb. 4). Eine größere Auslenkung bei gleicher Kraft erreicht man daher nur, wenn die Elastizitätskonstante möglichst klein gewählt wird.

 

Mathematische Begründung

Für die zum Spannen des Bogens nötige Kraft gilt das Hooke'sche Gesetz $F=k\cdot s$. Der geometrischen Interpretation des Flächeninhalts enstpricht die mathematische Formel für die Spannenergie $W=\frac{1}{2}K\cdot s^2$.

Da die maximale Kraft der Bogenschützin ein konstanter Wert ist, muss auch das Produkt aus $K\cdot s$ konstant sein. Eine Erhöhung der Elastizitätskonstante $K$ bedeutet daher eine Verringerung der maximal möglichen Auslenkung $s$ und umgekehrt.

Da die Energie nur linear von der Elastizitätskonstante abhängt, aber quadratisch von der Auslenkung, ist es sinnvoller, die Auslenkung möglichst groß zu wählen und dafür eine kleinere Elastizitskonstante zu wählen.