Grenzen der bekannten Formel für die Arbeit
Häufig kannst du in Physikaufgaben die Arbeit über die Formel $W = F\cdot s$ berechnen. Es gibt jedoch in der Physik Fälle, in denen die Anwendung dieser Formel nicht so einfach ist. Zum Beispiel gilt für die Kraft beim Auslenkung einer Feder das Hooke’sche Gesetz: $F=k\cdot x$. Willst du die Arbeit beim Spannen einer Feder berechnen, kannst du die Formel $W=F\cdot s$ also nicht ohne weiteres benutzen - Die Kraft ändert sich beständig mit der Strecke. Du müsstest also unendlich viele verschiedene Werte in die Formel für F einsetzen, die jeweils nur über eine ganz kleine Strecke s wirksam sind - und das würde unendlich lange dauern. Wie kannst du das Problem lösen?
Interpretation von Arbeit als Fläche in einem Weg-Kraft-Diagramm
Eine einfache Lösung kannst du finden, wenn du die physikalische Größe ‘Arbeit’ mit der Fläche in einem Weg-Kraft-Diagramm in Verbindung bringst.
Wirkt eine konstante Kraft entlang einer Strecke $s$, kannst du dies in einem Weg-Kraft-Diagramm darstellen (Abb. 1). Da die Kraft konstant ist, ergibt sich im Diagramm eine einfache horizontale Linie der Länge $s$. Im Diagramm entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=s$ und $b=F$ . Der Flächeninhalt dieses Rechtecks errechnet sich aus Höhe mal Breite, also $A=F\cdot s$. Er entspricht deshalb der physikalischen Arbeit $W$.
Die Interpretation der Arbeit als Fläche lässt sich auf verschiedene Fälle sehr einfach anwenden, auch wenn nicht nur eine konstante Kraft wirkt.
Arbeit als Fläche
Die physikalische Arbeit entspricht der Fläche zwischen Funktionsgraphen und x-Achse im Weg-Kraft-Diagramm.
Anwendung der Flächeninterpretation auf verschiedene Beispiele
Zwei konstante Kräfte wirken jeweils über eine Teilstrecke
Wenn sich eine konstante Kraft schlagartig auf einen anderen konstanten Wert ändert, ergeben sich im Weg-Kraft-Diagramm zwei Rechtecke (Abb. 2). Die Gesamtarbeit ergibt sich aus dem Gesamtflächeninhalt beider Rechtecke:
\[W_\text{gesamt}=W_1+W_2=F_1\cdot s_1+F_2\cdot s_2\]
Das System verrichtet arbeit oder am System wird Arbeit verrichtet
Bei der Betrachtung von Weg-Kraft-Diagrammen musst du auch das Vorzeichen berücksichtigen. Nimm zum Beispiel einen Stein, der erst hochgehoben und dann fallengelassen wird. Zunächst wird an dem Stein Arbeit verrichtet und er gewinnt an potentieller Energie (positives Vorzeichen). Sobald er fallen gelassen wird, verrichtet der Stein Arbeit und verringert seine potentielle Energie (negatives vorzeichen). Die Fläche im negativen Bereich der x-Achse ist genauso groß wie die Fläche oberhalb der x-Achse in Abb. 3. Insgesamt ist die geleistete Arbeit gleich Null. Dies ist nichts anderes als der Energieerhaltungssatz.
Eine Kraft ändert sich kontinuierlich entlang des Weges (z. B. beim Dehnen einer Feder)
Beim Spannen einer Feder nimmt die Kraft proportional zur Strecke zu. Das Weg-Kraft-Diagramm entspricht also nicht mehr einer horizontalen Linie, sondern einer Ursprungsgeraden. Die Fläche unter dem Graphen ist kein Rechteck mehr sondern ein Dreieck, wie du in Abb. 4 sehen kannst. Für den Flächeninhalt und damit auch die geleistete Arbeit gilt in diesem Fall \[W=\frac{1}{2}F\cdot s\]
Verständnisaufgabe
Zeige, dass für das Spannen einer Feder der oben gefundene Ausdruck der bekannten Formel für die Spannarbeit $W=\frac{1}{2}k\cdot s^2$ entspricht.