Ein BMX-Fahrer wagt den Sprung in die in Abb. 1 skizzierte Halfpipe und macht an ihrem Ende in Punkt \(\rm{P}_2\) einen Sprung senkrecht nach oben. Während der gesamten Fahrt in der \(25{,}0\, \rm{m}\) langen Pipe wirkt auf ihn eine konstante Reibungskraft von \(F_{\rm{Reib}}=50{,}0\,\rm{N}\). Fahrer und Fahrrad wiegen zusammen \(60{,}0\,\rm{kg}\).
a)
Berechne den Betrag der Wärmeenergie, die der BMX-Fahrer auf dem Weg von \(\rm{P}_1\) nach \(\rm{P}_2\) umsetzt.
b)
Berechne die Geschwindigkeit des BMX-Fahrers am Punkt \(\rm{P}_2\).
c)
Berechne, wie hoch der BMX-Fahrer am anderen Ende der Halfpipe über die Kante hinaus bis zum Punkt \(\rm{P}_3\) springen kann. Die Luftreibung wird dabei als vernachlässigbar klein angenommen.
Die Reibungskräfte verrichten Reibarbeit. Dabei wird mechanische Energie des BMX-Fahrers in innere Energie von Reifen, Lager und Halfpipe umgewandelt. Die Reibarbeit ist über die Formel \(W_\rm{Reib} =F_\rm{Reib}\cdot s\) zu berechnen. Mit \(F_\rm{Reib}=50{,}0\,\rm{N}\) und \(s=25{,}0\,\rm{m}\) ergibt sich\[W_\rm{Reib}=50{,}0\,\rm{N} \cdot 25{,}0\,\rm{m}=1250\,\rm{J}\]wobei das Ergebnis wegen der Ausgangsdaten mit drei gültigen Ziffern nur auf drei Ziffern genau ist. Diese Arbeit ist schließlich in innere Energie \(E_{\rm{i}}\) umgewandelt.
b)
Wir lösen die Aufgabe, indem wir eine Energietabelle für das Problem aufstellen. Am Punkt \(\rm{P}_1\) liegt nur potentielle Energie vor, am Punkt \(\rm{P}_2\) dagegen potenzielle, kinetische und innere Energie.
Tab. 1 Energietabelle zu Aufgabenteil b)
\(\rm{P}_1\)
\(\rm{P}_2\)
\(E_{\rm{pot}}\)
\(m \cdot g \cdot h_1\)
\(m \cdot g \cdot h_2\)
\(E_{\rm{kin}}\)
\(0\)
\(\frac{1}{2}\cdot m \cdot {v_2}^2\)
\(E_{\rm{i}}\)
\(0\)
\(1250\,\rm{J}\)
\(E_{\rm{ges}}\)
\(m \cdot g \cdot h_1\)
\(m \cdot g \cdot h_2+\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2+1250\,\rm{J}\)
Der Energieerhaltungssatz sagt nun aus, dass die Gesamtenergie im Punkt \(\rm{P}_2\) gleich der Gesamtenergie im Punkt \(\rm{P}_1\) ist. Damit erhalten wir\[\begin{eqnarray}m \cdot g \cdot {h_1} &=& m \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} + 1250\,{\rm{J}}\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} &=& m \cdot g \cdot {h_1} - m \cdot g \cdot {h_2} - 1250\,{\rm{J}}\\v &=& \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {m \cdot g \cdot {h_1} - m \cdot g \cdot {h_2} - 1250\,{\rm{J}}} \right)}}{m}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {60{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 8{,}00\,{\rm{m}} - 60{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 2{,}00\,{\rm{m}} - 1250\,{\rm{J}}} \right)}}{{60{,}0\,{\rm{kg}}}}} = 8{,}72\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Wir lösen die Aufgabe wieder, indem wir eine Energietabelle für das Problem aufstellen. Der BMX-Fahrer soll nun bis zum Punkt \(\rm{P}_3\) mit der Höhe \(h_3\) kommen. An diesem höchsten Punkt hat er die Geschwindigkeit \(v_3=0\). Am Punkt \(\rm{P}_1\) liegt wiederum nur potentielle Energie vor, am Punkt \(\rm{P}_3\) dagegen potenzielle und innere Energie.
Tab. 2 Energietabelle zu Aufgabenteil c)
\(\rm{P}_1\)
\(\rm{P}_3\)
\(E_{\rm{pot}}\)
\(m \cdot g \cdot h_1\)
\(m \cdot g \cdot h_3\)
\(E_{\rm{kin}}\)
\(0\)
\(0\)
\(E_{\rm{i}}\)
\(0\)
\(1250\,\rm{J}\)
\(E_{\rm{ges}}\)
\(m \cdot g \cdot h_1\)
\(m \cdot g \cdot h_3+1250\,\rm{J}\)
Der Energieerhaltungssatz sagt nun aus, dass die Gesamtenergie im Punkt \(\rm{P}_3\) gleich der Gesamtenergie im Punkt \(\rm{P}_1\) ist. Damit erhalten wir\[\begin{eqnarray}m \cdot g \cdot {h_1} &=& m \cdot g \cdot {h_3} + 1250\,{\rm{J}}\\m \cdot g \cdot {h_3} &=& m \cdot g \cdot {h_1} - 1250\,{\rm{J}}\\{h_3} &=& \frac{{m \cdot g \cdot {h_1} - 1250\,{\rm{J}}}}{{m \cdot g}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{h_3} = \frac{{60{,}0{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 8{,}00\,{\rm{m}} - 1250\,{\rm{J}}}}{{60{,}0{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 5{,}87{\rm{m}}\]Ohne Berücksichtigung der Reibung wäre der BMX-Fahrer wieder bis auf die Höhe von Punkt \(\rm{P}_1\) gekommen, hätte also von der Kante aus ganze \(6{,}00\,\rm{m}\) hoch springen können.
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