Verschiedene Hebel im Alltag
Einen um eine feste Achse drehbaren, starren Körper nennen wir Hebel. Im Alltag kennst du viele verschiedene Hebel: Wippe, Schere, Nussknacker und Schraubenschlüssel. Auch dein Arm ist im Prinzip ein Hebel. Allgemein gilt dabei: Je länger der Hebel(-arm) ist, desto kleiner ist die Kraft, die du aufbringen musst, um z.B. deinen Partner auf der Wippe anzuheben. Weiter unterscheidet man zweiseitige Hebel wie eine Wippe von einseitigen Hebeln wie einem Schraubenschlüssel.
Zweiseitiger Hebel
Bei einem zweiseitigen Hebel erstreckt sich der starre Körper auf beide Seiten der Drehachse. Es können daher auf beiden Seiten der Drehachse Kräfte am Hebel angreifen. Besonders einfach kannst du Größen am zweiseitigen Hebel berechnen, wenn dieser waagerecht steht und die angreifenden Kräfte senkrecht dazu, also senkrecht nach oben oder nach unten wirken. In diesem Fall entspricht der Abstand des Angriffspunktes \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) von der Drehachse genau dem sogenannten Hebelarm \(a\) (siehe Abb. 1).
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Gleichgewichtsbedingung am zweiseitigen Hebel
Der Hebel ist hier im Gleichgewicht, wenn das Produkt von Kraft und Hebelarm der links von der Drehachse angreifenden Kräfte gleich dem Produkt von Kraft und Hebelarm der rechts von der Drehachse angreifenden Kräfte ist: \[{F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2}\]
Mehr als eine wirkende Kraft auf einer Seite
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Wenn auf einer Seite oder auf beiden Seiten des Hebels mehr als eine Kraft wirkt, so addierst du für jede Seite alle Produkte aus Kraft und Hebelarm auf. Im Gleichgewichtsfall muss die Summe der Produkte für die links angreifenden Kräfte gleich der Summe der Produkte für die rechts angreifenden Kräfte sein. Für das in Abb. 3 dargestellte Beispiel mit drei angreifenden Kräften gilt daher im Gleichgewichtsfall \[F_{\rm{l1}}\cdot a_{\rm{l1}}+F_{\rm{l2}}\cdot a_{\rm{l2}}=F_{\rm{r1}}\cdot a_{\rm{r1}}\]
Nach oben wirkende Kraft
Wirkt eine am Hebel angreifende Kraft nicht nach unten, sondern nach oben, so musst du in der Rechnung den Betrag dieser Kraft mit einem Minuszeichen versehen.
Bestimmung des Hebelarms im allgemeinen Fall
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Nur im geschilderten Sonderfall entspricht der Abstand vom Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft zur Drehachse \(\rm{D}\) dem Hebelarm \(a\). Im Allgemeinen, wenn zum Beispiel der Hebel nicht waagerecht steht oder eine Kraft nicht senkrecht zum Hebel wirkt, bestimmst du den Hebelarm über den Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse. Der Hebelarm steht dabei immer senkrecht auf der Wirkungslinie (siehe Abb. 4).
Die Länge des Hebelarms \(a\) kannst du dabei entweder durch eine maßstabsgerechte Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen. Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 4 berechnest du aus \[\cos(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\cos(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]Hebelarm \(a_2\) berechnest du auf gleiche Art und Weise.
Aufgabe
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Am Hebel in der Abbildung 6 wirken die drei Kräfte \({\vec F_1}\) mit \({{F_1} = 40\,{\rm{N}}}\), \({\vec F_2}\) mit \({{F_2} = 50\,{\rm{N}}}\) und \({\vec F_3}\) mit \({{F_3} = 100\,{\rm{N}}}\).
Bestimme in welchem Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\) der Angriffspunkt A der Kraft \({\vec F_3}\) vom Drehpunkt D liegen muss, damit am Hebel Gleichgewicht herrscht.
Tipp: Berechne zuerst die Länge \(a_3\) des notwendigen Hebelarms von \({\vec F_3}\) und bestimme dann zeichnerisch (oder mit Hilfe der Trigonometrie) den Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\).