Mechanik

Einfache Maschinen

Hebel

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Hebel

Festlegung

Ein Hebel ist ein um eine feste Achse drehbarer starrer Körper. Im Folgenden siehst du einige Beispiele für Hebel:

Das Drehmoment

Größen zur Bestimmung des Drehmoments
Abb.
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Größen für das Drehmoment

Aus dem Alltag weißt du, dass man festsitzende Schraubenmuttern mit einem langen Schraubenschlüssel eher lockern kann als mit einem kurzen Schraubenschlüssel. Versuche zeigen, dass die Drehwirkung einer Kraft umso größer ist, je größer der Kraftbetrag und der Hebelarm ist.

Dies führt zur folgenden Definition des sog. Drehmomentes \(M\), welches ein Maß für die Drehwirkung ist.\[\bbox[lightgreen,10px,border:2px solid grey]{M=F\cdot a}\]

Dabei ist \(F\) der Betrag der Kraft, die am Hebel angreift und \(a\) der sog. Hebelarm. Der Hebelarm ist der Abstand zwischen der Wirkungslinie der Kraft \(F\) vom Drehpunkt \(D\).

Hinweise:

  • Nur in Sonderfällen, wie z.B. bei einem Schraubenschlüssel, ist der Abstand zwischen dem Angriffspunkt \(P\) der Kraft und dem Drehpunkt \(D\) gleich dem Hebelarm \(a\).
  • Je nach der Drehrichtung, die von einem Drehmoment bewirkt wird, unterscheidet man linksdrehende und rechtsdrehende Momente und verwendet dabei die folgende Symbolik.

  • Die Einheit des Drehmoments ist \([M] = 1\,\rm{N\cdot m}\). Hierfür schreibt man jedoch nicht wie bei der Energie \(1\,\rm{J}\).

Gleichgewichtsbedingung am Hebel:

Gleichgewichtsbedingung am Hebel
Abb.
2
Gleichgewichtsbedingung am Hebel

Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

In dem skizzierten Beispiel gilt im Gleichgewichtsfall:

\[F_1\cdot a_1+F_2\cdot a_2=F_3\cdot a_3\]

Eine Maschinenschraube soll mit einem Drehmoment von \(38\,\rm{Nm}\) festgezogen werden.

  1. Berechne den Betrag der Kraft, die bei einem \(60\,\rm{cm}\) langen Schraubenschlüssel dafür nötig ist.

  2. Berechne, welches Drehmoment man bei dem selben Schlüssel durch die Kraft \(150\,\rm{N}\) erhält.

 

Mit einem Wellrad wird eine Last mit \(G = 500\,\rm{N}\) an einer Welle mit \(r_1 = 10\,\rm{cm}\) um \(h=8{,}0\,\rm{m}\) hochgezogen.

  1. Berechne den Betrag \(F\) der Kraft F, die dazu am äußeren Rad mit \(r_2 =40\,\rm{cm}\) wirken muss.

  2. Berechne die Strecke \(s\), die man am Seil ziehen muss.

  3. Berechne, welche Arbeit bei diesem Vorgang verrichtet wird.

 

Berechne den Betrag \({{F_3}}\) der Kraft, die nötig ist, damit der nebenstehende Hebel mit \({{F_1} = 40\,{\rm{N}}}\) und \({{F_2} = 50\,{\rm{N}}}\) im Gleichgewicht ist.

 
Verständnisaufgabe

Am Hebel in der nebenstehenden Abbildungen wirken die drei Kräfte \({\vec F_1}\) mit \({{F_1} = 40\,{\rm{N}}}\), \({\vec F_2}\) mit \({{F_2} = 50\,{\rm{N}}}\) und \({\vec F_3}\) mit \({{F_3} = 100\,{\rm{N}}}\).

Bestimme den Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\), den der Angriffspunkt A der Kraft \({\vec F_3}\) vom Drehpunkt D haben muss, damit am Hebel Gleichgewicht herrscht. Tipp: Berechne zuerst die Länge \(a_3\) des wirksamen Hebelarms von \({\vec F_3}\) und bestimme dann zeichnerisch (oder mit Hilfe der Trigonometrie) den Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\).

Lösung

Aus der Gleichgewichtsbedingung beim Hebel erhält man\[{F_3} \cdot {a_3} = {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2} \Leftrightarrow {a_3} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}}}{{{F_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_3} = \frac{{40{\rm{N}} \cdot 10{\rm{cm}} + 50{\rm{N}} \cdot 40{\rm{cm}}}}{{100{\rm{N}}}} = 24{\rm{cm}}\]Durch maßstäbliche Konstruktion des Dreiecks ADB ermittelt man für den gesuchten \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = 28\,{\rm{cm}}\). Zum gleichen Ergebnis für diesen Abstand kommt man durch trigonometrische Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck ADB:\[\cos \left( {30^\circ } \right) = \frac{{{a_3}}}{{\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|}} \Leftrightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{{a_3}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}} \Rightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{24\,{\rm{cm}}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}} = 28\,{\rm{cm}}\]

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