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Aufgabe

Zahnradgetriebe

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einem Zahnradgetriebe sind die Durchmesser der beteiligten Räder \({d_1} = 50\,{\rm{cm}}\) und \({d_2} = 25\,{\rm{cm}}\).

a)Berechne, wie oft sich das große Rad in einer Sekunde dreht, wenn sich das kleine 10 mal pro Sekunde dreht.

b)Berechne, wie groß Drehmoment und Kraft am großen Rad sind, wenn am kleinen Rad das Drehmoment \(1{,}0\,{\rm{kNm}}\) wirkt.

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a)Die Umdrehungszahl \(u\) pro Sekunde ist umso größer je kleiner der Durchmesser \(d\) des Rades ist. Es gilt eine umgekehrte Proportionalität zwischen \(u\) und \(d\):\[{u_1} \cdot {d_1} = {u_2} \cdot {d_2} \Leftrightarrow {u_1} = {u_2} \cdot \frac{{{d_2}}}{{{d_1}}} \Rightarrow {u_1} = 10\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{{25{\rm{cm}}}}{{50{\rm{cm}}}} = 5\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\]

b)Am Umfang des kleinen Rades wirkt die Kraft \({F_2}\) mit\[{F_2} \cdot {r_2} = {M_2} \Leftrightarrow {F_2} = \frac{{{M_2}}}{{{r_2}}} \Rightarrow {F_2} = \frac{{1,0 \cdot {{10}^3}{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}}}{{0,125{\rm{m}}}} = 8,0 \cdot {10^3}{\rm{N}}\]Diese Kraft wirkt auch am Umfang vom großen Rad, d.h. es gilt \({F_1} = {F_2} = 8,0 \cdot {10^3}{\rm{N}}\); damit ist das Drehmoment am großen Rad\[{M_1} = {\rm{ }}{F_1} \cdot {r_1} \Rightarrow {M_1} = 8,0 \cdot {10^3}{\rm{N}} \cdot 0,25\rm{m}=2,0 \cdot {10^3}\rm{Nm}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen