Wenn du mit dem Mountainbike steile Bergstraßen fahren willst, kommt es darauf an, mit einer bestimmten Pedelkraft \(\vec F_{\rm{P}}\) eine möglichst große Antriebskraft \(\vec F_{2}\) am Hinterrad zu bewirken.
a)
Streiche in den folgenden vier Sätzen jeweils das falsche Adjektiv durch.
Um eine möglichst große Antriebskraft \(\vec F_{2}\) zu erzielen, sollte ...
... der Radius \(a_{\rm{K}}^*\) des vorderen Zahnkranzes möglichst
groß
klein
sein.
... der Radius \(a_{\rm{K}}\) des hinteren Zahnkranzes möglichst
groß
klein
sein.
... der Radius \(a_{\rm{R}}\) des Hinterrades möglichst
groß
klein
sein.
... die Länge der Pedale \(a_{\rm{P}}\) möglichst
groß
klein
sein.
b)
Eine Bergstraße habe den Neigungswinkel von \(10^\circ \).
Bestimme zeichnerisch aus der Gewichtskraft mit dem Betrag \({F_{\rm{G}}} = 0,80\,{\rm{kN}}\) von Rad und Fahrer den Betrag der Hangabtriebskraft beim Befahren der Straße.
c)
Das Mountainbike von Teilaufgabe b) hat den Raddurchmesser \(26\,{\rm{Zoll}} \approx 66\,{\rm{cm}}\), die Pedale des Fahrrades sind \({a_{\rm{P}}} = 20\,{\rm{cm}}\) lang. Beim Bergauffahren tritt eine Reibungskraft mit dem Betrag \(F_{\rm{Reibung}}=20\,\rm{N}\) auf. Der Radfahrer fährt im 2. Gang (\(a_{\rm{K}}^* = 4{,}0\,{\rm{cm}}\); \(a_{\rm{K}}^{} = 6{,}0\,{\rm{cm}}\)).
Berechne den Betrag der Kraft, mit der der Biker mindestens in die Pedale treten muss, um die Bergstraße aufwärts fahren zu können.
Um eine möglichst große Antriebskraft mit dem Betrag \({F_{\rm{2}}}\) zu erzielen, sollte ...
... der Radius \(a_{\rm{K}}^*\) des vorderen Zahnkranzes möglichst
groß
klein
sein.
... der Radius \(a_{\rm{K}}\) des hinteren Zahnkranzes möglichst
groß
klein
sein.
... der Radius \(a_{\rm{R}}\) des Hinterrades möglichst
groß
klein
sein.
... die Länge der Pedale \(a_{\rm{P}}\) möglichst
groß
klein
sein.
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Zerlegung der Gewichtskraft in Normalkraft und Hangabtriebskraft
Man zerlegt die Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) in die Normalkraft \({{\vec F}_{\rm{N}}}\) und die Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{\rm{HA}}}\). Aus dem Kräfteparallelogramm kann man entnehmen, dass der Betrag der Hangabtriebskraft ca. \(0{,}14\,\rm{kN}\) beträgt.
c)
Der Betrag der Antriebskraft muss mindestens so hoch sein wie die Summe aus Hangabtriebskraft und Reibungskraft. \[{F_{2,\min }} = {F_{{\rm{HA}}}} + {F_{\rm{Reibung}}} \Rightarrow {F_{2,\min }} = 0{,}14\,{\rm{kN}} + 0{,}02\,{\rm{kN}} = 0{,}16\,{\rm{kN}}\]Bekannt sind damit \({a_{\rm{P}}} = 20\,{\rm{cm}}\), \(a_{\rm{K}}^* = 4{,}0\,{\rm{cm}}\), \(a_{\rm{K}} = 6{,}0\,{\rm{cm}}\), \(a_{\rm{R}} = 33\,{\rm{cm}}\) und \(F_2 = 0{,}16\,\rm{kN}\), gesucht ist \(F_{\rm{P}}\).
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze des Kettenantriebs
Es gilt zum einen\[{F_3} \cdot a_{\rm{K}}^* = {F_{\rm{P}}} \cdot {a_{\rm{P}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{P}}} = \frac{{{F_3} \cdot a_{\rm{K}}^*}}{{{a_{\rm{P}}}}}\quad(1)\]Zum anderen gilt\[{F_2} \cdot {a_{\rm{R}}} = {F_1} \cdot {a_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {F_1} = \frac{{{F_2} \cdot {a_{\rm{R}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}}\quad(2)\]Wegen \({F_1} = {F_3}\) ergibt sich aus \((2)\)\[{F_3} = \frac{{{F_2} \cdot {a_{\rm{R}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}}\quad(2')\]Durch Einsetzen von \((2')\) in \((1)\) erhält man dann\[{F_{{\rm{P}},\min }} = \frac{{\frac{{{F_{2,\min }} \cdot {a_{\rm{R}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}} \cdot a_{\rm{K}}^*}}{{{a_p}}} = {F_{2,\min }} \cdot \frac{{{a_{\rm{R}}} \cdot a_{\rm{K}}^*}}{{{a_{\rm{K}}} \cdot {a_{\rm{P}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{{\rm{P}},\min }} = 0{,}16\,{\rm{kN}} \cdot \frac{{33\,{\rm{cm}} \cdot 4{,}0\,{\rm{cm}}}}{{6{,}0\,{\rm{cm}} \cdot 20\,{\rm{cm}}}} = 0{,}18\,{\rm{kN}}\]Der Biker muss also mindestens mit der Kraft \(0{,}18\,\rm{kN}\) in die Pedale treten.
