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Aufgabe

Mountainbike

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Wenn du mit dem Mountainbike steile Bergstraßen fahren willst, kommt es darauf an, mit einer bestimmten Pedelkraft \(\vec F_{\rm{P}}\) eine möglichst große Antriebskraft \(\vec F_{2}\) am Hinterrad zu bewirken.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze eines Mountainbikes mit Kettengetriebe

a)Streiche in den folgenden vier Sätzen jeweils das falsche Adjektiv durch.

Um eine möglichst große Antriebskraft \(\vec F_{2}\) zu erzielen, sollte ...

... der Radius \(a_{\rm{K}}^*\) des vorderen Zahnkranzes möglichst groß klein sein.
... der Radius \(a_{\rm{K}}\) des hinteren Zahnkranzes möglichst groß klein sein.
... der Radius \(a_{\rm{R}}\) des Hinterrades möglichst groß klein sein.
... die Länge der Pedale \(a_{\rm{P}}\) möglichst groß klein sein.

b)Eine Bergstraße habe den Neigungswinkel von \(10^\circ \).

Bestimme zeichnerisch aus der Gewichtskraft mit dem Betrag \({F_{\rm{G}}} = 0,80\,{\rm{kN}}\) von Rad und Fahrer den Betrag der Hangabtriebskraft beim Befahren der Straße.

c)Das Mountainbike von Teilaufgabe b) hat den Raddurchmesser \(26\,{\rm{Zoll}} \approx 66\,{\rm{cm}}\), die Pedale des Fahrrades sind \({a_{\rm{P}}} = 20\,{\rm{cm}}\) lang. Beim Bergauffahren tritt eine Reibungskraft mit dem Betrag \(F_{\rm{Reibung}}=20\,\rm{N}\) auf. Der Radfahrer fährt im 2. Gang (\(a_{\rm{K}}^* = 4{,}0\,{\rm{cm}}\); \(a_{\rm{K}}^{} = 6{,}0\,{\rm{cm}}\)).

Berechne den Betrag der Kraft, mit der der Biker mindestens in die Pedale treten muss, um die Bergstraße aufwärts fahren zu können.

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a)Um eine möglichst große Antriebskraft mit dem Betrag \({F_{\rm{2}}}\) zu erzielen, sollte ...

... der Radius \(a_{\rm{K}}^*\) des vorderen Zahnkranzes möglichst groß klein sein.
... der Radius \(a_{\rm{K}}\) des hinteren Zahnkranzes möglichst groß klein sein.
... der Radius \(a_{\rm{R}}\) des Hinterrades möglichst groß klein sein.
... die Länge der Pedale \(a_{\rm{P}}\) möglichst groß klein sein.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Zerlegung der Gewichtskraft in Normalkraft und Hangabtriebskraft

b)Man zerlegt die Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) in die Normalkraft \({{\vec F}_{\rm{N}}}\) und die Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{\rm{HA}}}\). Aus dem Kräfteparallelogramm kann man entnehmen, dass der Betrag der Hangabtriebskraft ca. \(0{,}14\,\rm{kN}\) beträgt.

c)Der Betrag der Antriebskraft muss mindestens so hoch sein wie die Summe aus Hangabtriebskraft und Reibungskraft. \[{F_{2,\min }} = {F_{{\rm{HA}}}} + {F_{\rm{Reibung}}} \Rightarrow {F_{2,\min }} = 0{,}14\,{\rm{kN}} + 0{,}02\,{\rm{kN}} = 0{,}16\,{\rm{kN}}\]Bekannt sind damit \({a_{\rm{P}}} = 20\,{\rm{cm}}\), \(a_{\rm{K}}^* = 4{,}0\,{\rm{cm}}\), \(a_{\rm{K}} = 6{,}0\,{\rm{cm}}\), \(a_{\rm{R}} = 33\,{\rm{cm}}\) und \(F_2 = 0{,}16\,\rm{kN}\), gesucht ist \(F_{\rm{P}}\).

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze des Kettenantriebs

Es gilt zum einen\[{F_3} \cdot a_{\rm{K}}^* = {F_{\rm{P}}} \cdot {a_{\rm{P}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{P}}} = \frac{{{F_3} \cdot a_{\rm{K}}^*}}{{{a_{\rm{P}}}}}\quad(1)\]Zum anderen gilt\[{F_2} \cdot {a_{\rm{R}}} = {F_1} \cdot {a_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {F_1} = \frac{{{F_2} \cdot {a_{\rm{R}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}}\quad(2)\]Wegen \({F_1} = {F_3}\) ergibt sich aus \((2)\)\[{F_3} = \frac{{{F_2} \cdot {a_{\rm{R}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}}\quad(2')\]Durch Einsetzen von \((2')\) in \((1)\) erhält man dann\[{F_{{\rm{P}},\min }} = \frac{{\frac{{{F_{2,\min }} \cdot {a_{\rm{R}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}} \cdot a_{\rm{K}}^*}}{{{a_p}}} = {F_{2,\min }} \cdot \frac{{{a_{\rm{R}}} \cdot a_{\rm{K}}^*}}{{{a_{\rm{K}}} \cdot {a_{\rm{P}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{{\rm{P}},\min }} = 0{,}16\,{\rm{kN}} \cdot \frac{{33\,{\rm{cm}} \cdot 4{,}0\,{\rm{cm}}}}{{6{,}0\,{\rm{cm}} \cdot 20\,{\rm{cm}}}} = 0{,}18\,{\rm{kN}}\]Der Biker muss also mindestens mit der Kraft \(0{,}18\,\rm{kN}\) in die Pedale treten.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen