Einfache Maschinen

Durch die Kraft \({\vec F_{\rm{P}}}\) mit dem Betrag \({F_{\rm{P}}} = 400{\rm{N}}\) wirkt auf die Kette die Kraft \({\vec F_{\rm{K}}}\). Deren Betrag berechnet sich nach dem Hebelgesetz zu \[{F_{\rm{K}}} \cdot {a_{\rm{K}}} = {F_{\rm{P}}} \cdot {a_{\rm{P}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{K}}} = {F_{\rm{P}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{P}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}}\quad(1)\] Da \({{\vec F}_{\rm{K}}}\) längs der Kette an den hinteren Zahnkranz verschoben werden kann, berechnet sich der Betrag der Kraft \({{\vec F}_{\rm{H}}}\) am Hinterrad wiederum mit dem Hebelgesetz zu \[{F_{\rm{K}}} \cdot {a_{\rm{K}}}^* = {F_{\rm{H}}} \cdot {a_{\rm{R}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{H}}} = {F_{\rm{K}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{K}}}^*}}{{{a_{\rm{R}}}}}\quad(2)\]
Setzt man nun \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt \[{F_{\rm{H}}} = {F_{\rm{P}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{P}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{K}}}^*}}{{{a_{\rm{R}}}}}\] Einsetzen des oben berechneten Wertes für \({F_{\rm{P}}}\) und der anderen gegebenen Werte liefert \[{F_{\rm{H}}} = 400{\rm{N}} \cdot \frac{{18{\rm{cm}}}}{{8{\rm{cm}}}} \cdot \frac{{4{\rm{cm}}}}{{36{\rm{cm}}}} = 100{\rm{N}}\] Das Hinterrad überträgt also auf den Untergrund die Kraft von \(100{\rm{N}}\).

Wenn \({a_{\rm{K}}}\) kleiner wird, so wird \({F_{\rm{H}}}\) größer (vgl. Bruchterm zur Berechnung von \({F_{\rm{H}}}\))

Um \({F_{\rm{H}}}\) möglichst groß zu gestalten, muss \({a_{\rm{K}}}\) klein und \({a_{\rm{K}}}^*\) groß gewählt werden (also vorne ein kleines Kettenblatt und hinten ein großes Ritzel).

Man muss für das Zurücklegen einer bestimmten Strecke öfters kurbeln.

Bei einer Umdrehung des vorderen Zahnkranzes wird die Kette um \({u_{\rm{V}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{K}}}\) bewegt. Dies führt zu \(N\) Umdrehungen am Hinterrad. Berechnung von \(N\): \[N = \frac{{{\rm{Umfang}}\;{\rm{Kettenblatt}}}}{{{\rm{Umfang}}\;{\rm{Ritzel}}}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{K}}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{K}}}^*}} = \frac{{{a_{\rm{K}}}}}{{{a_{\rm{K}}}^*}} \Rightarrow N = \frac{{8\rm{cm}}}{{4\rm{cm}}} = 2\] Wenn nun das Hinterrad \(N\) Umdrehungen ausführt, so legt es \(N\)-mal den Radumfang \({u_{\rm{H}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{R}}}\) zurück: \[s = N \cdot {u_{\rm{H}}} = N \cdot 2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{R}}} \Rightarrow s = 2 \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 0,36{\rm{m}} = 4,5{\rm{m}}\]