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Aufgabe

Kettenantrieb

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Bei einem Fahrrad ist die Pedallänge \({a_{\rm{P}}} = 18{\rm{cm}}\), das Kettenblatt hat einen Radius von \({a_{\rm{K}}} = 8{\rm{cm}}\), das Ritzel am hinteren Kranz hat einen Radius \({a_{\rm{K}}}^* = 4{\rm{cm}}\), der Radius des Hinterrades beträgt \({a_{\rm{R}}} = 36{\rm{cm}}\). Auf das Pedal wirkt eine Kraft vom Betrag \({F_{\rm{P}}} = 400{\rm{N}}\).

a)Fertige eine übersichtliche Prinzipskizze des Fahrrades an und trage alle wichtigen Kräfte und Kraftarme ein.

b)Berechne den Betrag der \({{\vec F}_{\rm{H}}}\), die das Hinterrad auf die Straße überträgt.

c)Erläutere, wie sich \({F_{\rm{H}}}\) qualitativ ändert, wenn die Kette vorne auf einen kleineren Zahnkranz umgelegt wird.

d)Gib an, wie man die Zahnkränze vorne und hinten in der Gangschaltung wählen muss, damit eine möglichst große Kraft auf die Straße übertragen kann.

Gib weiter an, welchen Nachteil diese Einstellung der Gangschaltung bringt.

e)Berechne den Weg, den das das Fahrrad bei einer Kurbelumdrehung zurücklegt (Entfaltung).

Hinweis: Der Umfang \(u\) eines Kreises mit Radius \(r\) wird nach der Formel \(u = 2 \cdot \pi  \cdot r\) berechnet. Dabei ist \(\pi \) die Kreiszahl mit einem Wert von ca. \(3,14\).

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a) 

b)Durch die Kraft \({\vec F_{\rm{P}}}\) mit dem Betrag \({F_{\rm{P}}} = 400{\rm{N}}\) wirkt auf die Kette die Kraft \({\vec F_{\rm{K}}}\). Deren Betrag berechnet sich nach dem Hebelgesetz zu \[{F_{\rm{K}}} \cdot {a_{\rm{K}}} = {F_{\rm{P}}} \cdot {a_{\rm{P}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{K}}} = {F_{\rm{P}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{P}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}}\quad(1)\] Da \({{\vec F}_{\rm{K}}}\) längs der Kette an den hinteren Zahnkranz verschoben werden kann, berechnet sich der Betrag der Kraft \({{\vec F}_{\rm{H}}}\) am Hinterrad wiederum mit dem Hebelgesetz zu \[{F_{\rm{K}}} \cdot {a_{\rm{K}}}^* = {F_{\rm{H}}} \cdot {a_{\rm{R}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{H}}} = {F_{\rm{K}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{K}}}^*}}{{{a_{\rm{R}}}}}\quad(2)\]
Setzt man nun \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt \[{F_{\rm{H}}} = {F_{\rm{P}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{P}}}}}{{{a_{\rm{K}}}}} \cdot \frac{{{a_{\rm{K}}}^*}}{{{a_{\rm{R}}}}}\] Einsetzen des oben berechneten Wertes für \({F_{\rm{P}}}\) und der anderen gegebenen Werte liefert \[{F_{\rm{H}}} = 400{\rm{N}} \cdot \frac{{18{\rm{cm}}}}{{8{\rm{cm}}}} \cdot \frac{{4{\rm{cm}}}}{{36{\rm{cm}}}} = 100{\rm{N}}\] Das Hinterrad überträgt also auf den Untergrund die Kraft von \(100{\rm{N}}\).

c)Wenn \({a_{\rm{K}}}\) kleiner wird, so wird \({F_{\rm{H}}}\) größer (vgl. Bruchterm zur Berechnung von \({F_{\rm{H}}}\))

d)Um \({F_{\rm{H}}}\) möglichst groß zu gestalten, muss \({a_{\rm{K}}}\) klein und \({a_{\rm{K}}}^*\) groß gewählt werden (also vorne ein kleines Kettenblatt und hinten ein großes Ritzel).

Man muss für das Zurücklegen einer bestimmten Strecke öfters kurbeln.

e)Bei einer Umdrehung des vorderen Zahnkranzes wird die Kette um \({u_{\rm{V}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{K}}}\) bewegt. Dies führt zu \(N\) Umdrehungen am Hinterrad. Berechnung von \(N\): \[N = \frac{{{\rm{Umfang}}\;{\rm{Kettenblatt}}}}{{{\rm{Umfang}}\;{\rm{Ritzel}}}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{K}}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{K}}}^*}} = \frac{{{a_{\rm{K}}}}}{{{a_{\rm{K}}}^*}} \Rightarrow N = \frac{{8\rm{cm}}}{{4\rm{cm}}} = 2\] Wenn nun das Hinterrad \(N\) Umdrehungen ausführt, so legt es \(N\)-mal den Radumfang \({u_{\rm{H}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{R}}}\) zurück: \[s = N \cdot {u_{\rm{H}}} = N \cdot 2 \cdot \pi  \cdot {a_{\rm{R}}} \Rightarrow s = 2 \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 0,36{\rm{m}} = 4,5{\rm{m}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen